ユークリッド原論をどう読むか（７）
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ユークリッド原論

第３巻

命題３ー３１（半円内の角は直角、半円より大小の切片内の角、切片の角）
円において
半円内の角は
　直角であり、
半円より大きい
　切片内の角は
　直角より小さく、
より小さい切片内の角は
　直角より大きい。
また
半円より大きい切片の角は
　直角より大きく、
より小さい切片の角は
　直角より小さい。

• 円は、 定義１ー１５ による。
• 半円は、 定義１ー１８ による。
• 角は、 定義１ー８ による。
• 直角は、 定義１ー１０ による。
• 大きいは、 公理１ー８ による。
• 切片は、 定義３ー６ による。
• 切片内の角は、 定義３ー８ による。
• 切片の角は、 定義３ー７ による。

ＡＢＣＤを円とし、
　ＢＣをその直径、
　Ｅを中心とし、

• 命題３ー１ （作図.円の中心）
  により、
  　中心をとり、
  　それをＥとする。
  公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  により、
  　円周上に点Ｂをとる。
  公準１ー１ （作図.直線）
  により、
  　ＥとＢとを結び、
  　 公準１ー２ （作図.直線の延長）
  により、
  　延長する。
  命題３−１の補足２ (中心を通る直線は円周と２交点)
  により、
  　この直線は
  　Ｂ以外に
  　もう１点で円周と交わる。
  その点をＣとする。
  公準１ー１ （作図.直線）
  により、
  　ＢからＣに向かう一方の弧の上に
  　点Ｄをとり、
  　さらに
  　弧ＢＤ上に点Ａをとる。
  
• 　円ＡＢＣＤ
  に対して、
  　中心Ｅ.円ＡＢＣＤ、
  　点Ｂ[上.円周ＡＢＣＤ]、
  　交点Ｃ(円周ＡＢＣＤ,延長ＢＥ)、
  　点Ｄ[上.円周ＡＢＣＤ,外.Ｂ,外.Ｃ]、
  　点Ａ[上.円周ＡＢＣＤ,反対側(ＢＤ,Ｃ),外.Ｂ,外.Ｄ]
  をとっている。

　ＢＡ、ＡＣ、ＡＤ、ＤＣが
　結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　線分ＢＡ、ＡＣ、ＡＤ、ＤＣ
  をとっている。

半円ＢＡＣ内の角ＢＡＣは
　直角であり、
半円より大きい切片ＡＢＣ内の角ＡＢＣは
　直角より小さく、
半円より小さい切片のＡＤＣは
　直角より大きい
　と主張する。

ＡＥが結ばれ、

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　線分ＡＥ
  をとっている。

　そして
　ＢＡが
　Ｆまで延長されたとせよ。

• 公準１ー２ （作図.直線の延長）
  による。
• 　点Ｆ[延長ＢＡ]
  をとっている。

そうすれば
　ＢＥはＥＡに等しいから、

• 命題の設定 , 定義１ー１５ （円）
  による。
• 　ＢＥ＝ＥＡ
  となっている。

　角ＡＢＥも角ＢＡＥに等しい。

• 命題１ー５ （２等辺三角形の底角）
  による。
• 　∠ＡＢＥ＝∠ＢＡＥ
  となっている。

また
ＣＥは
　ＥＡに等しいから、

• 命題の設定 , 定義１ー１５ （円）
  による。
• 　ＣＥ＝ＥＡ
  となっている。

　角ＡＣＥも角ＣＡＥに等しい。

• 命題１ー５ （２等辺三角形の底角）
  による。
• 　∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＥ
  となっている。

それゆえ
角ＢＡＣ全体は
　２角ＡＢＣ、ＡＣＢの和に等しい。

• 公理１ー２ （等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ
  となっている。

ところが
　三角形ＡＢＣの外角ＦＡＣも
　２角ＡＢＣ、ＡＣＢの和に等しい。

• 命題１ー３２ （三角形の内対角・内角の和）
  による。
• 　∠ＦＡＣ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ
  となっている。

ゆえに
　角ＢＡＣも角ＣＡＥに等しい。

• 公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＥ
  となっている。

したがって
　双方は直角である。 【・・・(1)】

• 定義１ー１０ （直角）
  による。
• 　∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＥ＝∠Ｒ
  となっている。

よって
　半円ＢＡＣ内の角ＢＡＣは
　直角である。

• 　前節による。
• 　∠ＢＡＣ.半円ＢＡＣ＝∠Ｒ
  となっている。

次に
　三角形ＡＢＣの
　２つの角ＡＢＣ、ＢＡＣの和は
　２直角より小さく、

• 命題１ー３２ （三角形の内対角・内角の和）
  による。
• 　∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＜２∠Ｒ
  となっている。

角ＢＡＣは
　直角であるから、

• (1)による。
• 　∠ＢＡＣ＝∠Ｒ
  となっている。

角ＡＢＣは
　直角より小さい。 【・・・(2)】

• 公理１ー４の補足２ （不等なものから等しいものをひく）
  による。
• 　∠ＡＢＣ＜∠Ｒ
  となっている。

そして
　半円より大きい切片ＡＢＣ内の角である。

• 定義３ー８ （切片内の角）
  による。
• 　切片ＡＢＣ.円ＡＢＣＤ;外側.半円(ＢＣ,反対側(ＢＣ,Ａ))
  　∠ＡＢＣ;内角.切片ＡＢＣ.円ＡＢＣＤ
  　∠ＡＢＣ＜∠Ｒ
  となっている。

次に
ＡＢＣＤは
　円に内接する四辺形であり、

• 定義の補足（命題３ー２２） (内接)
  による。
• 　四辺ＡＢＣＤ（接）円ＡＢＣＤ、
  　四辺ＡＢＣＤ;内側.円ＡＢＣＤ
  となっている。

円に内接する四辺形の対角の和は
　２直角に等しく、

• 命題３ー２２ （内接四辺形の対角の和は２直角）
  による。
• 　∠ＡＤＣ＋∠ＡＢＣ＝２∠Ｒ
  となっている。

角ＡＢＣは
　直角より小さいから、

• (2)による。
• 　∠ＡＢＣ＜∠Ｒ
  となっている。

残りの角ＡＤＣは
　直角より大きい。

• 公理１ー３ （等しいものから等しいものをひく） 、
  公理１ー８の補足 （小さい）
  による。
• 　∠ＡＤＣ＞∠Ｒ
  となっている。

そして
　半円より小さい 切片ＡＤＣ内の角である。

• 定義３ー８ （切片内の角）
  による。
• 　切片ＤＡＣ.円ＡＢＣＤ;内側.半円(ＢＣ,同側(ＢＣ,Ａ))
  　∠ＡＤＣ;内角.切片ＤＡＣ.円ＡＢＣＤ
  　∠ＡＤＣ＞∠Ｒ
  となっている。

また半円より大きい切片の角、
　すなわち
　弧ＡＢＣと弦ＡＣとにはさまれた角は

• 定義３ー８ （切片内の角）
  による。

　直角より大きく、
　より小さい切片の角、
　すなわち
　弧ＡＤＣと弦ＡＣとにはさまれた角は
　直角より小さい
　と主張する。
これはただちに明らかである。
なぜなら
　弦ＢＡ、ＡＣにはさまれた角は
　直角であるから、

• (1)による。
• 「なぜなら・・・であるから」については、
  　コメント２（命題１ー１６）を参照のこと。
• 　∠ＢＡＣ＝∠Ｒ
  となっている。

弧ＡＢＣと弦ＡＣとにはさまれた角は
　直角より大きい。

• 公理１ー８ （大きい）
  による。
• 　∠(弧ＡＢＣ,弦ＡＣ)＞∠Ｒ
  となっている。

また
　弦ＡＣと線分ＡＦにはさまれた角は
　直角であるから、

• (1)による。
• 　∠ＣＡＦ＝∠Ｒ
  となっている。

弦ＣＡと弧ＡＤＣとにはさまれた角は
　直角より小さい。

• 公理１ー８の補足 （小さい）
  による。
• 　∠(弦ＣＡ,弧ＡＤＣ)＜∠Ｒ
  となっている。

よって
　円において半円内の角は直角であり、
　半円より大きい切片内の角は直角より小さく、
　より小さい切片内の角は直角より大きい。
また
　半円より大きい切片の角は直角より大きく、
　より小さい切片の角は直角より小さい。
これが証明すべきことであった。

• 命題３ー３１は、
  　円ＡＢＣＤ
  に対して、
  　直径ＢＣ.円ＡＢＣＤ、
  　四辺ＡＢＣＤ;（内接）円ＡＢＣＤ、
  をとれば、
  　内角ＣＡＢ.半円(ＢＣ,Ａ)＝∠Ｒ、
  　内角ＡＢＣ.切片ＡＢＣ..円ＡＢＣＤ(ＡＣ,同側(ＡＣ,Ｂ))＜∠Ｒ、
  　内角ＡＤＣ.切片ＡＤＣ..円ＡＢＣＤ(ＡＣ,反対側(ＡＣ,Ｂ))＜∠Ｒ
  　∠(弧ＡＢＣ,弦ＡＣ).切片ＡＢＣ＞∠Ｒ
  　∠(弦ＣＡ,弧ＡＤＣ).切片ＡＤＣ＜∠Ｒ
  のことである。
  
• 命題３ー３１は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-10 , 1-15 , 3-8 , 補(題3-22)
  公準	1-1 , 1-1補 , 1-2
  公理		1-1 , 1-2 , 1-3 , 1-4補 , 1-8 , 1-8補
  命題	3-1 , 3-1補2	1-5 , 1-32 , 3-22
  その他		コ2(題1-16)f

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