ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー８（同じ順次比例での項の挿入）
（構成.順次比例項の挿入）
もし
　二つの数の間に
　順次に比例する数が入る
ならば、
　いくつの数が順次に比例して
　それらの間に入ろう
とも、
　同じ個数の数が順次に比例して
　もとの二つの数と
　同じ比をもつ数の間にも入る
であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 順次に比例は、
  定義の補足（命題８ー１）による。
• 個数は、
  定義５ー１７の補足による。
• 同じ比は、
  定義５ー５による。

　２数Ａ、Ｂの間に
　順次に比例する数Ｃ、Ｄが入る
とし、
　ＡがＢに対するように、
　ＥがＦに対するとされた
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
  
• 　Ａ、Ｂの間に
  したがって、
  　Ｅ、Ｆの間に
  　順次に比例する数がいくつ入るかは
  　本命題の結果と、
  　命題８ー２（構成.順次に比例する最小の数）
  によると、
  　Ａ、Ｂと同じ比で、最小の数である
  　Ｇ、Ｌが、
  　どんな指数の同じベキ乗になっているか
  による。
  
  すなわち、
  　Ｇ＝Ｍ^p、Ｌ＝Ｎ^p
  　となっていれ
  ば、
  　Ｐ＝Ｓ×Ｔ
  とすると、
  　ＧとＬ、ＡとＢ、ＥとＦの間に
  　項をＭ^T：Ｎ^Tの比で
  　Ｓー１個入れて
  　順次に比例するようにできる。
  (以下、命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）という。)
  

　いくつの数が順次に比例して
　Ａ、Ｂの間に入ろう
と、
　同じ個数の数が順次に比例して
　ＥがＦの間に入る
であろうと主張する。

　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの個数が
　いくつであろう
と、

• 　準一般的な証明である。
  　コメント２（命題５ー１）
  　参照のこと。
  

　それ[Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ]と同じ個数の、
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄと
　同じ比をもつ数のうち最小である
　Ｇ、Ｈ、Ｋ、Ｌがとられた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題８ー２（構成.順次に比例する最小の数） による。

そうすれば
　それらの外項Ｇ、Ｌは
　互いに素である。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題８ー３（順次比例数の外項は互に素）
  による。

そして
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは
　Ｇ、Ｈ、Ｋ、Ｌと同じ比をなし、
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは
　Ｇ、Ｈ、Ｋ、Ｌと同じ個数である

• （ａ）による。

から、
　等間隔比により
　ＡがＢに対するように、
　ＧがＬに対する。

• 　前節、 命題７ー１４（数の等間隔比） による。

ところが
　ＡがＢに対するように、
　ＥがＦに対する。

• 　命題の設定による。

ゆえに
　ＧがＬに対するように、
　ＥがＦに対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
  

ところが
　Ｇ、Ｌは［互いに］素であり、

• 　（１）による。

　［互いに］素である数は最小であり、

• 　命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小） による。

　最小である数は
　同じ比をもつ数を割り切り、
　大きい数が大きい数を、
　小さい数が小さい数を、
すなわち
　前項が前項を、
　後項が後項を割り切り、
　その商は等しい。

• 　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る） による。

したがって
　ＧがＥを、
　ＬがＦを割った商は等しい。

• 　前節による。

次に
　ＧがＥを割った商が
　Ｈ、Ｋの双方が
　Ｍ、Ｎの双方を割った商に等しい
とせよ。

• 　定義７−２１（比例）
  により、
  　Ｇ：Ｅ＝Ｈ：Ｍ＝Ｋ：Ｎとなる
  ので、
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  1 　Ｍ、Ｎを構成（作図）すればよい。
  

そうすれば
　Ｇ、Ｈ、Ｋ、Ｌがそれぞれ
　Ｅ、Ｍ、Ｎ、Ｆを割り切り、
　その商は等しい。

• 　前節、前々節による。

ゆえに
　Ｇ、Ｈ、Ｋ、Ｌは
　Ｅ、Ｍ、Ｎ、Ｆと同じ比をなす。

• 　前節、 定義７−２１（比例）
  により、
  　Ｇ：Ｅ＝Ｈ：Ｍとなる
  から、
  　命題７ー１３（比例４数はいれかえても比例）
  により
  　Ｇ：Ｈ＝Ｅ：Ｍとなる。
  　同様にして、
  　Ｈ：Ｋ＝Ｍ：Ｎ、
  　Ｋ：Ｌ＝Ｎ：Ｆとなる。　
  

ところが
　Ｇ、Ｈ、Ｋ、Ｌは
　Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂと同じ比をなす。

• （ａ）による。

したがって
　Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂは
　Ｅ、Ｍ、Ｎ、Ｆと同じ比をなす。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
  

ところが
　Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂは順次に比例する。

• 　命題の設定による。

ゆえに
　Ｅ、Ｍ、Ｎ、Ｆも順次に比例する。

• 　前節、前々節による。
  

したがって
　いくつの数が順次に比例して
　Ａ、Ｂの間に入ろう
と、
　同じ個数の数が順次に比例して
　Ｅ、Ｆの間にも入った。

　これが証明すべきことであった。

• 　Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｆであり、
  　Ｃ、Ｄがあって
  　Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｄ＝Ｄ：Ｂとできる
  ならば、
  　Ｅ：Ｍ＝Ｍ：Ｎ＝Ｎ：Ｆとなる
  ような
  　数Ｍ、Ｎが存在する。
  
• 命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	8-2,8-8
  その他

• 命題８ー８は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-21
  公準
  公理
  命題	8-2	5-11,6-12,7-13,7-14,7-20,7-21,8-3
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題5-1)

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