ユークリッド原論をどう読むか(12)
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ユークリッド原論

第8巻
 
命題8ー8(同じ順次比例での項の挿入)
構成.順次比例項の挿入)
もし
 二つのの間に
 順次に比例するが入る
ならば、
 いくつの順次に比例して
 それらの間に入ろう
とも、
 同じ個数順次に比例して
 もとの二つの
 同じ比をもつの間にも入る
であろう。



 2A、Bの間に
 順次に比例するC、Dが入る
とし、
 AがBに対するように
 EがFに対するとされた
とせよ。

 いくつの順次に比例して
 A、Bの間に入ろう
と、
 同じ個数順次に比例して
 EがFの間に入る
であろうと主張する。

 A、B、C、Dの個数
 いくつであろう
と、

 それ[A、B、C、D]と同じ個数の、
 A、B、C、Dと
 同じ比をもつのうち最小である
 G、H、K、Lがとられた
とせよ。
      [......(a)]

そうすれば
 それらの外項G、Lは
 互いに素である。
      [......(1)]

そして
 A、B、C、Dは
 G、H、K、Lと同じ比をなし、
 A、B、C、Dは
 G、H、K、Lと同じ個数である

から、
 等間隔比により
 AがBに対するように
 GがLに対する

ところが
 AがBに対するように
 EがFに対する

ゆえに
 GがLに対するように
 EがFに対する

ところが
 G、Lは[互いに]素であり、

 [互いに]素である最小であり、
 最小である
 同じ比をもつ割り切り
 大きい大きいを、
 小さい小さいを、
すなわち
 前項前項を、
 後項後項割り切り
 その等しい

したがって
 GがEを、
 LがFを割っ等しい

次に
 GがEを割っ
 H、Kの双方が
 M、Nの双方を割っ等しい
とせよ。

そうすれば
 G、H、K、Lがそれぞれ
 E、M、N、Fを割り切り
 その等しい

ゆえに
 G、H、K、Lは
 E、M、N、Fと同じ比をなす。

ところが
 G、H、K、Lは
 A、C、D、Bと同じ比をなす。

したがって
 A、C、D、Bは
 E、M、N、Fと同じ比をなす。

ところが
 A、C、D、Bは順次に比例する。

ゆえに
 E、M、N、Fも順次に比例する。

したがって
 いくつの順次に比例して
 A、Bの間に入ろう
と、
 同じ個数順次に比例して
 E、Fの間にも入った。

 これが証明すべきことであった。
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