ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー２２（順次比例と平方数）
もし
　３つの数が順次に比例し、
　第１の数が平方数である
ならば、
　第３の数も平方数で
あろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 順次に比例は、
  定義の補足（命題８ー１）による。
• 平方数は、
  定義７ー１９による。

　Ａ、Ｂ、Ｃを
　３つの順次に比例する数
とし、
　第１の数Ａが平方数である
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｃ、
  かつ
  　数Ｄがあって、Ａ＝Ｄ^2
  となっている。
  

　第３の数Ｃも平方数である
と主張する。


　Ａ、Ｃの間には
　１つの比例中項数Ｂがある

• 　命題の設定による。

から、
　Ａ、Ｃは相似な平面数である。

• 　前節、
  　命題８ー２０（比例中項と相似な平面数）
  による。
  
• 　数Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈがあって、
  　Ａ＝Ｅ×Ｆ、Ｃ＝Ｇ×Ｈ、
  　Ｅ：Ｆ＝Ｇ：Ｈ
  となっている。
  

ところが
　Ａは平方数である。

• 　命題の設定による。
• 　Ｅ＝Ｆ（＝Ｄ）となっている。

したがって
　Ｃも平方数である。

• 　前節、
  　定義７−２１（比例）、
  により、
  　Ｇ＝Ｈ
  となり、
  　定義７−２２（相似な平面数・立体数）
  による。
  

　これが証明すべきことであった。

• 　Ａ:Ｂ＝Ｂ:Ｃ
  かつ
  　Ａが平方数
  ならば、
  　Ｃも平方数
  である.
  
• 命題８ー２２は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-21,7-22
  公準
  公理
  命題		8-20
  その他	コ4(題7-1)

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