ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー２４（３項平方数の比例の第４項）
（平方数は相似）
もし
　２つの数が互いに
　平方数が平方数に対する比をもち、
　第１の数が平方数である
ならば、
　第２の数も平方数
であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 平方数は、
  定義７ー１９による。
• 対するは、
  定義の補足３（命題５ー１１）による。
• 比は、
  定義５ー３による。

　２数Ａ、Ｂが互いに
　平方数Ｃが平方数Ｄに
　対する比をもち、
　Ａが平方数である
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ、
  　数Ｅ、Ｆ、Ｇがあって、
  　Ａ＝Ｅ^2、Ｃ＝Ｆ^2、Ｄ＝Ｇ^2
  となっている。
  

　Ｂも平方数である
と主張する。

　Ｃ、Ｄは平方数である

• 　命題の設定である。
• 　Ｃ＝Ｆ^2、Ｄ＝Ｇ^2
  となっている。
  

から、
　Ｃ、Ｄは相似な平面数である。

• 　前節により
  　Ｃ＝Ｆ^2、Ｄ＝Ｇ^2
  となっており、
  　Ｆ：Ｆ＝Ｇ：Ｇ
  となっているから、
  　定義７−２２（相似な平面数・立体数）
  により、
  　相似である。
  
  　推論の過程
  から
  　平方数は互いに相似な平面数である
  (命題８ー２４の補足（平方数は相似）)
  ことがわかる。
  

それゆえ
　Ｃ、Ｄの間には１つの比例中項数が入る。

• 　前節、
  　命題８ー１８（相似な平面数と比例中項）
  による。
  
• 　Ｃ(Ｆ^2)：Ｆ×Ｇ＝Ｆ×Ｇ：Ｄ(Ｇ^2)
  となっている。
  

そして
　ＣがＤに対するように、
　ＡがＢに対する。

• 　命題の設定による。
• 　Ｃ：Ｄ＝Ａ：Ｂ
  となっている。

ゆえに
　Ａ、Ｂの間にも１つの比例中項数が入る。

• 　前節、前々節、
  　命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）
  により、
  　Ｆ：Ｇの比で
  　１つの比例中項が
  入る。
  

そして
　Ａは平方数である。

• 　命題の設定による。

したがって
　Ｂも平方数である。

• 　前節、前々節、
  　命題８ー２２（順次比例と平方数）
  による。
  

　これが証明すべきことであった。

• 　Ａ:Ｂ＝Ｅ^2:Ｆ^2で、
  　Ａが平方数
  ならば、
  　Ｂも平方数である．
  
• 命題８ー２４の補足（平方数は相似）

  前提	作図	推論
  定義		7-22
  公準
  公理
  命題
  その他

• 命題８ー２４は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-22
  公準
  公理
  命題	8-8補	8-18,8-22
  その他	コ4(題7-1)

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