ユークリッド原論をどう読むか（１３）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー１１（順次比例数内での商）
（ａ^n／ａ^r＝ａ^(n-r))
もし
　任意個の数が単位から始まり
　順次に比例する
ならば、
　それらの数のうち
　小さい数が
　大きい数を割った商は
　これらの比例する数の
　どれか一つである。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 単位は、
  定義７ー１による。
• 順次に比例は、
  定義の補足（命題８ー１）による。
• 小さいは、
  公理１ー８の補足による。
• 大きいは、
  公理１ー８による。
• 割るは、
  定義５ー１の補足４による。
• 商は、
  定義７ー８の補足による。
• 比例は、
  定義７ー２１による。

　単位Ａから始まり
　順次に比例する数
　Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅがある
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｃ＝Ｃ：Ｄ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。

　Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅのうち
　最小である数Ｂが
　Ｅを割った商は
　Ｃ、Ｄのどちらかである
と主張する。

　単位ＡがＢに対するように、
　ＤがＥに対する

• 　命題の設定による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。
  
• 　この順次に比例する数において、
  　単位Ａから始まり割る数Ｂまで
  と
  　それと同じ個数になるように
  　割られる数Ｅまでの数 とを考え、
  　必要に応じて、
  　等間隔比を考える。
  [......(１)]
  　命題７ー１４（数の等間隔比）
  により、
  　Ａ：Ｂ＝Ｄ：Ｅ
  となる。
  

から、
　単位Ａが数Ｂを、
　ＤがＥを割った商は等しい。

• 　定義７−２１（比例）
  による。
  
• 　Ｂ／Ａ＝Ｅ／Ｄ
  となっている。
  

それゆえ
　いれかえて
　単位ＡがＤを、
　ＢがＥを割った商は等しい。

• 　前節、
  　命題７ー１５（割る数と商のいれかえ）
  による。
  
• 　Ｄ／Ａ＝Ｅ／Ｂ
  となっている。
  

ところが
　単位ＡがＤを割った商は
　Ｄのなかにある単位の個数である。

• 　定義７ー８の補足（商） による。
• 　Ｄ／Ａ＝Ｄ
  となっている。
  

ゆえに
　ＢがＥを割った商も
　Ｄのなかにある単位の個数である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ｅ／Ｂ＝Ｄ
  となっている。
  

したがって
　小さい数Ｂが
　大きい数Ｅを割った商は
　比例する数のどれかである。

• 　（１）による。

　系
そして
　次のことは明らかである。
　割る数が
　単位から数えて何番目
であろうと、
　その商は
　割られた数から
　前の方向に数えて同じ位置にある。

(以下、命題９ー１１の系 （ａ^n／ａ^r＝ａ^(n-r)）という)

• 　（１）による。

• 命題９ー１１は、
  　１、Ａ1、Ａ2、…、Ａn、…；順次比例
  ならば、
  　Ａn／Ａm＝Ａn-m
  のことである。
  
• 命題９ー１１の系 （ａ^n／ａ^r＝ａ^(n-r)）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		9-11
  その他

• 命題９ー１１は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-8補,7-21
  公準
  公理		1-1
  命題		7-14,7-15
  その他	コ4(題7-1)

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭