ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー９（単位開始順次比例で２番目が平方数・立方数）
もし
　任意個の数が
　単位から始まり順次に比例し、
　単位の次の数が平方数ならば、
　残りのすべても平方数
であろう。

そしてもし
　単位の次の数が立方数ならば、
　残りのすべても立方数
であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 単位は、
  定義７ー１による。
• 順次に比例は、
  定義の補足（命題８ー１）による。
• 平方数は、
  定義７ー１９による。
• 立方数は、
  定義７ー２０による。

　単位から始まり
　順次に比例する任意個の
　数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆがある
とし、
　単位の次の数Ａが平方数である
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　１、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ
  　が順次に比例し、
  　数Ｇがあって、
  　Ａ＝Ｇ^2
  となっている。
  

　残りのすべても平方数である
と主張する。

さて
　単位から数えて３番目の
　Ｂが平方数であり、
　１つおきにすべてそうである
ことは証明されている。

• 　命題９ー８（単位開始順次比例での平方数、立方数）
  による。
  
• 　２番目のＡとその１つおきの項が
  　残された証明の対象である。
  

そこで
　残りのすべても平方数である
　と主張する。

　Ａ、Ｂ、Ｃは順次に比例し、
　Ａは平方数である

• 　命題の設定による。

から、
　Ｃも平方数である。

• 　前節、
  　命題９ー３の補足 (構成.立方数の２乗は立方数)
  による。
  
• 　Ｃ＝(Ｇ^2)^3
  となっている。
  

また
　《Ｂ、》Ｃ、Ｄ［、Ｅ］は順次に比例し、
　《Ｂ》［Ｃ］は平方数である
から、
　《Ｄ》［Ｅ］も平方数である。

同様にして
　残りの
　［２番目のＡと１つおきにある項の］
　すべても平方数である
ことを証明しうる。
［ゆえに
　Ａ以外の残りの
　すべても平方数である］

次に
　Ａを立方数
とせよ。

• 　Ａ＝Ｇ^3
  となっている。

　残りのすべても立方数である
と主張する。

さて
　単位から数えて４番目の
　Ｃは立方数であり、
　２つおきにすべてそうである
ことは証明されている。

• 　命題９ー８（単位開始順次比例での平方数、立方数）
  による。
  
• 　２番目のＡとその２つおきの項、
  　３番目のＢとその２つおきの項が
  　残された証明の対象である。
  

そこで
　残りのすべても立方数である
と主張する。

　単位がＡに対するように、
　ＡがＢに対する

• 　命題の設定による。
• 　１：Ａ＝Ａ：Ｂ
  となっている。
  

から、
　単位がＡを、
　ＡがＢを割った商は等しい。

• 　前節、
  　定義７−２１（比例）
  による。
  
• 　Ａ／１＝Ｂ／Ａ
  となっている。
  

ところが
　単位がＡを割った商は
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ａ／１＝Ａ
  となっている。

それゆえ
　ＡがＢを割った商も
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ｂ／Ａ＝Ａ
  となっている。

ゆえに
　Ａは２乗してＢをつくった。

• 　前節、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ａ^2＝Ｂ
  となっている。

そして
　Ａは立方数である。

• 　命題の設定である。
• 　Ａ＝Ｇ^3
  となっている。

ところがもし
　立方数が２乗してある数をつくる
ならば、
　その積は立方数である。

• 　命題９ー３(立方数の２乗は立方数) による。

したがって
　Ｂも立方数である。

• 　前節、前々節、
  　命題９ー３の補足 (構成.立方数の２乗は立方数)
  による。
  
• 　Ｂ＝Ａ^2
  となっているから
  　ＡとＢの辺の比は１：Ｇとなり、
  　Ｂ＝（Ｇ^2）^3
  となっている。
  

そして
　４つの数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは順次に比例し、
　Ａは立方数である
から、
　Ｄも立方数である。

• 　命題８ー２３（順次比例と立方数）
  による。
  
• 　Ａの辺とＤの辺の比は
  　１：Ｇ^3
  となっているから
  　Ｄ＝（Ｇ^4）^3
  となっている。
  

　同じ理由で
　Ｅも立方数であり、

• 　Ｅ＝（Ｇ^5）^3
  となっている。
  

　同様にして
　残りの
　［２番目のＡと２つおきにある項、
　３番目のＢと２つおきにある項の］
　すべても立方数である

［ゆえに
　Ａ以外の残りの
　すべても立方数である］

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー９は、
  　1,Ａ1,Ａ2,Ａ3,…；順次比例
  のとき、
  　Ａ1；平方数
  ならば、
  　Ａ2,Ａ3,…；平方数、
  　Ａ1；立方数
  ならば、
  　Ａ2,Ａ3,…；立方数
  のことである。
• 命題９ー９は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-8補,7-21
  公準
  公理		1-1
  命題	9-3補	補4(義7-16),8-23,9-3,9-8
  その他	コ4(題7-1)

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