ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
　同じ比をもつ２数のうち
　最小の数は
　それと同じ比をもつ２数を、
　大きい数が大きい数を、
　小さい数が小さい数を
　それぞれ割り切り、
　その商は等しい。

• 同じ比は、 定義５ー５による。
• 数は、 定義７ー２による
• 最小は、 定義の補足３（命題３ー７）による。
• 大きいは、 公理１ー８による。
• 小さいは、 公理１ー８の補足による。
• 割り切りは、 定義５ー１の補足２による。
• 商は、 定義７ー８の補足 による。
• 等しいは、 公理１ー７による。

　ＣＤ、ＥＦを
　Ａ、Ｂと同じ比をもつ２数のうち
　最小
とせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
• 比例する数の作図は
  命題７ー１１の補足(構成.比例する数の作図)
  による。
  図は、Ａ＝６、Ｂ＝４、ＣＤ＝３、ＥＦ＝２による。
• 　数Ａ、Ｂ
  に対して、
  　(数ＣＤ：数ＥＦ);＝Ａ：Ｂ、(最小数の比)
  となっている。
  　ＣＤ、ＥＦは仮想的である。
  

　ＣＤがＡを、
　ＥＦがＢを
　割り切り、
　その商は等しい
と主張する。

　ＣＤはＡの《約数》[等分]和ではない。

もし
　可能ならば、

• 背理法の仮定を述べようとしている。
  「もし可能ならば」は
  コメント２(命題１−７） 参照のこと。

　《約数》[等分]和である
とせよ。

• 背理法の仮定である。
• 　ＣＤ＝等分和[Ａ]
  　＝ｎＡ／ｍ
  としている。

そうすれば
[......(１)]
　ＣＤがＡのいかなる《約数》[等分]和であろうと
　ＥＦもＢの同じ《約数》[等分]和である。
　　　　　　[......(１)]

• 命題の設定 Ａ：Ｂ＝ＣＤ：ＥＦ、
  命題７ー１３（比例４数はいれかえても比例）、
  定義７ー２１ (比例の定義) による。
• 　等分和(ＣＤ,Ａ)＝等分和(ＥＦ,Ｂ)
  　＝ｎ／ｍ
  となっている。

ゆえに
　ＣＤのなかにある
　Ａの《約数》[等分]と同じ個数の、
　Ｂの《約数》[等分]がＥＦのなかにもある。

• 定義の補足（命題７ー６） (同じ等分和の定義)による。
• 　個数(ＣＤ,等分数(Ａ;;＝Ａ／ｍ))
  　＝個数(ＥＦ,等分数(Ｂ;;＝Ｂ／ｍ))
  　＝ｎ
  となっている。

　ＣＤがＡの《約数》[等分]ＣＧ['、ＧiＧ'i]、ＧＤに、
　ＥＦがＢの《約数》[等分]ＥＨ['、ＨiＨ'i]、ＨＦに
　分けられた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 準一般的な証明である。
  コメント２（命題５ー１） 参照のこと。
• 準一般的な証明の一般化の方法は、
  コメント５（命題５ー１） 参照のこと。
• 　ＣＤ＝Σ(ＧiＧ'i;＝Ａ／ｍ)、
  　ＥＦ＝Σ(ＨiＨ'i;＝Ｂ／ｍ)
  となっている。

そうすれば
　ＣＧ、ＧＤの個数は
　ＥＨ、ＨＦの個数に等しい。

• 前節の結果による。
• 　個数((ＧiＧ'i;＝Ａ／ｍ))
  　＝個数((ＨiＨ'i;＝Ｂ／ｍ))
  　＝ｎ
  となっている。

そして
　数ＣＧ['、ＧiＧ'i]、ＧＤは互いに等しく、
　数ＥＨ['、ＨiＨ'i]、ＨＦも互いに等しく、
　ＣＧ['、ＧiＧ'i]、ＧＤの個数は
　ＥＨ['、ＨiＨ'i]、ＨＦの個数に等しい

• 推論の設定（ａ） による。
• 　ＧiＧ'i;＝Ａ／ｍ、
  　ＨiＨ'i;＝Ｂ／ｍ、
  　個数((ＧiＧ'i;＝Ａ／ｍ))
  　＝個数((ＨiＨ'i;＝Ｂ／ｍ))
  　＝ｎ
  となっている。
  

から
　ＣＧ[']がＥＨ[']に対するように、
［ＧiＧ'iがＨiＨ'iに対し、
　ＧＤがＨＦに対する。
　　　　　　[......(２)]

• 命題５ー７（同一量の比） による。
• 　ＣＧ'：ＥＨ'＝ＧiＧ'i：ＨiＨ'i
  　＝ＧＤ：ＨＦ
  となっている。

したがって
　前項の１つが後項の１つに対するように
　前項の総和が後項の総和に対する
であろう。

• 命題７ー１２ （比例する前項・後項の総和） である。
• 　ＣＧ'：ＥＨ'＝ΣＧiＧ'i：ΣＨiＨ'i
  となっている。

それゆえ
　ＣＧ[']がＥＨ[']に対するように、
　ＣＤがＥＦに対する。

• 前節による。
• 　ＣＧ'：ＥＨ'＝ＣＤ：ＥＦ
  となっている。

ゆえに
　ＣＧ[']、ＥＨ[']は
　ＣＤ、ＥＦに対し
　それらより小さくて
　同じ比をなす
ことになる。

• （２）, 前節による。
• 　(ＣＧ'：ＥＨ')
  　;＝ＣＤ：ＥＦ、(小さい数の比)
  となっている。

　これは不可能である。

なぜなら

• 「なぜなら・・・であるから」は、
  コメント２（命題１ー１６）参照のこと。

　ＣＤ、ＥＦは
　それらと同じ比をもつ２数のうち
　最小である
　と仮定されている

• 命題の設定 による。
• 　(ＣＤ：ＥＦ);(最小数の比)
  としていた。

から。

したがって
　ＣＤはＡの《約数》[等分]和ではない。

• 背理法による。
• 　ＣＤ;¬(等分和[Ａ];ｎＡ／ｍ)
  となっている。

ゆえに
　《約数》[等分]である。

• 命題７ー４ （小さい数は等分か等分和）により、
  　ＣＤは
  　Ａの等分であるか、
  　等分和である
  が
  　前項までの結論により
  　等分和でない。
  よって
  　等分である。
• 　ＣＤ;等分[Ａ]＝Ａ／ｍ
  となっている。

そして
　ＥＦもＢの、
　ＣＤがＡの《約数》[等分]であるのと
　同じ《約数》[等分]である。

• （１） による。
• 　等分(ＥＦ,Ｂ)＝等分(ＣＤ,Ａ)
  　＝１／ｍ
  となっている。

よって
　ＣＤがＡを、
　ＥＦがＢを
　割り切り、
　その商は等しい。

• 定義５ー１の補足２ (割り切るの定義)、
  定義７ー８の補足 (商の定義) による。
• 　商(Ａ,ＣＤ)＝商(Ｂ,ＥＦ)＝ｍ
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 　Ａ：Ｂ＝ＣＤ：ＥＦ(最小)
  　⇒
  　商(Ａ,ＣＤ)＝商(Ｂ：ＥＦ)
  すなわち、
  　Ａ＝ｍＣＤ、Ｂ＝ｍＥＦ
  のことである。
• もちろん、
  　Ａ＝ｍＣＤ、Ｂ＝ｍＥＦ
  となっていても、
  　ＣＤ：ＥＦ;¬(最小)
  となることがある。
  　８：４＝４：２
  だが、
  　＝２：１(最小)
  となっている。
• 命題７ー２０は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-1補2,補(題7-6),7-8補,7-21
  公準
  公理
  命題	7-11補	5-7,7-4,7-12,7-13
  その他	コ4(題7-1)	背理法、 コ2(題1-7),コ2(題1-16),コ2(題5-1),コ5(題5-1)

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