ユークリッド原論をどう読むか（１３）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー８（単位開始順次比例での平方数、立方数）
番目・おきに
もし
　任意個の数が
　単位から始まり
　順次に比例する
ならば、
　単位から数えて３番目は
　平方数であり、
　１つおきにすべてそう
であろう。

また
　４乗目は立方数であり、
　２つおきにすべてそう
であろう。

そして
　７番目は立方数で
　同時に平方数であり、
　５つおきにすべてそう
であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 単位は、
  定義７ー１による。
• 順次に比例は、
  定義の補足（命題８ー１）による。
• 　単位から数えてｎ番目は、
  　単位が１番目、
  　次が２番目
  ということである。
  　ｎつおきには
  　ｎつ飛ばして、
  　ｎ＋１番後ごとに
  ということである。
  (以下、定義の補足（命題９ー８） （番目・おき）という。)
  　数学的には、
  　単位のｎ番後
  とか
  　ｎ番後ごとに
  と数えるのが整合的である。
  　平方数は単位の２番後、
  　その２番後ごとに
  　すべてそうなる
  と整理されて表現される。
  
• 平方数は、
  定義７ー１９による。
• 立方数は、
  定義７ー２０による。

　単位から始まり
　順次に比例する任意個の
　数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆがある
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　１、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆにおいて、
  　前項と後項がすべて
  　１：Ａ
  となっている。
  

　単位から数えて３番目のＢは
　平方数であり、
　１つおきにすべてそうであり、
　４番目のＣは立方数であり、
　２つおきにすべてそうであり、
　７番目のＦは立方数で
　同時に平方数であり、
　５つおきにすべてそうである
と主張する。

　単位がＡに対するように、
　ＡがＢに対する

• 　命題の設定による。

から、
　単位が数Ａを、
　ＡがＢを割った商は等しい。

• 　前項、
  　定義７−２１（比例）
  による。
• 　Ａ／１＝Ｂ／Ａ
  となっている。
  

ところが
　単位が数Ａを割った商は
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ａ／１＝Ａ
  となっている。
  

それゆえ
　ＡがＢを割った商も
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ｂ／Ａ＝Ａ
  となっている。
  

ゆえに
　Ａは２乗してＢをつくった。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ａ^2＝Ｂ
  となっている。
  

したがって
　Ｂは平方数である。

• 　前節、
  　定義７−１９（平方数）
  による。
  
• 　Ｂ＝Ａ^2
  となっている。
  

そして
　Ｂ、Ｃ、Ｄは順次に比例し、
　Ｂは平方数である

• 　命題の設定、
  　前節による。
  

から、
　Ｄも平方数である。

• 　前節、
  　命題８ー２２（順次比例と平方数）
  による。
  
• 　１：Ａ
  　の比で順次に比例している
  ので、
  　Ｂの辺とＤの辺は
  　１：Ａ
  となっており、
  　Ｄ＝（Ａ^2）^2
  となっている。
  

同じ理由で
　Ｆも平方数である。
　　　　　　[......(２)]

• 　Ｆ＝（Ａ^3）^2
  となっている。
  

同様にして
　１つおきにすべて平方数である
ことを証明しうる。

• 　１つおきに
  ということは、
  　２つ後ごとに
  ということである。
  すなわち、
  　平方数となる項の
  　２つ後ごとに
  　平方数となる
  ことがわかる。
  

次に
　単位から数えて4番目のＣは
　立方数であり、
　２つおきにすべて立方数である
と主張する。

　単位がＡに対するように、
　ＢがＣに対する

• 　命題の設定による。

から、
　単位が数Ａを、
　ＢがＣを割った商は等しい。

• 　前節、
  　定義７−２１（比例）
  により、
  　ＢがＣを割り切る
  ことになり
  　その商が等しい
  による。
  
• 　Ａ／１＝Ｃ／Ｂ
  となっている。
  

ところが
　単位が数Ａを割った商は
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ａ／１＝Ａ
  となっている。
  

それゆえ
　ＢがＣを割った商も
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ｃ／Ｂ＝Ａ
  となっている。
  

ゆえに
　ＡはＢにかけてＣをつくった。

• 　前節、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  となっている。
  

そこで
　Ａは２乗してＢをつくり、
　Ｂにかけて、
　Ｃをつくった

• 　（１）、前節による。
  
• 　Ａ^2＝Ｂ、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  となっている。
  

から、
　Ｃは立方数である。

• 　前節、
  　定義７ー２０（立方数）
  による。
  
• 　Ｃ＝Ａ^3
  となっている。
  

そして
　Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆは順次に比例し、
　Ｃは立方数であるから、
　Ｆも立方数である。

• 　前節、
  　命題８ー２３（順次比例と立方数）
  による。
  
• 　１：Ａ
  　の比で順次に比例している
  ので、
  　Ｃの辺とＦの辺は
  　１：Ａ
  となっており、
  　Ｆ＝（Ａ^2）^3
  となっている。
  
• 　証明の経過から、
  　立方数となる項の
  　３つ後ごとに立方数となる
  ことがわかる。
  

ところが
　平方数である
ことも証明された。

• 　（２）による。

したがって
　単位から数えて７番目は立方数で
　かつ
　平方数である。

• 　（２）、 前々節により、
  　単位の２つ後ごとに平方数となり、
  　単位の３つ後ごとに立方数となる
  から、
  　単位の６つ後ごとに
  　平方数かつ立方数となる。
  すなわち、
  　単位から数えて７番目がそうであり、
  　５つおきにそうである。
  

同様にして
　５つおきにすべて
　立方数でかつ平方数である
ことを証明しうる。

• 　前節のコメントの後半による。

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー８は、
  　１、Ａ1、Ａ2、Ａ3,…；順次比例、
  ならば、
  　Ａ2,Ａ4,Ａ6,…；平方数、
  　Ａ3,Ａ6,Ａ9,…；立方数、
  　Ａ6,Ａ12,…；平方数かつ立方数
  のことである。
  
• 命題９ー８は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-8補,7-19,7-20,7-21
  公準
  公理		1-1
  命題		補4(義7-16),8-22,8-23
  その他	コ4(題7-1)

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭