ユークリッド原論をどう読むか(13)
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ユークリッド原論

第9巻
 
命題9ー8(単位開始順次比例での平方数、立方数)
番目・おきに
もし
 任意個の
 単位から始まり
 順次に比例する
ならば、
 単位から数えて番目
 平方数であり、
 1つおきにすべてそう
であろう。

また
 4乗目は立方数であり、
 2つおきにすべてそう
であろう。

そして
 7番目立方数
 同時に平方数であり、
 5つおきにすべてそう
であろう。




 単位から始まり
 順次に比例する任意個の
 A、B、C、D、E、Fがある
とせよ。


 単位から数えて番目のBは
 平方数であり、
 1つおきにすべてそうであり、
 4番目のCは立方数であり、
 2つおきにすべてそうであり、
 7番目のFは立方数
 同時に平方数であり、
 5つおきにすべてそうである
と主張する。

 単位がAに対するように
 AがBに対する

から、
 単位Aを、
 AがBを割っ等しい

ところが
 単位Aを割っ
 Aのなかにある単位個数である。

それゆえ
 AがBを割っ
 Aのなかにある単位個数である。

ゆえに
 Aは2乗してBをつくった。
      [......(1)]

したがって
 Bは平方数である。

そして
 B、C、Dは順次に比例し、
 Bは平方数である

から、
 Dも平方数である。

同じ理由で
 Fも平方数である。
      [......(2)]

同様にして
 1つおきにすべて平方数である
ことを証明しうる。

次に
 単位から数えて4番目のCは
 立方数であり、
 2つおきにすべて立方数である
と主張する。

 単位がAに対するように
 BがCに対する

から、
 単位Aを、
 BがCを割っ等しい

ところが
 単位Aを割っ
 Aのなかにある単位個数である。

それゆえ
 BがCを割っ
 Aのなかにある単位個数である。

ゆえに
 AはBにかけてCをつくった。

そこで
 Aは2乗してBをつくり、
 Bにかけて、
 Cをつくった

から、
 Cは立方数である。

そして
 C、D、E、Fは順次に比例し、
 Cは立方数であるから、
 Fも立方数である。

ところが
 平方数である
ことも証明された。


したがって
 単位から数えて番目立方数
 かつ
 平方数である。

同様にして
 5つおきにすべて
 立方数でかつ平方数である
ことを証明しうる。

 これが証明すべきことであった。
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