ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー８（差も同じ等分和）
もし
　ある数がある数の《約数和》[等分和]であり、
　引き去られた数が
　引き去られた数の《約数和》[等分和]であるならば、
　全体が全体のいかなる であろうと、
　残りの数も残りの数の同じ《約数和》[等分和]であろう。

• 数は、 定義７ー２による。
• 等分和は、 定義７ー４による。
• 同じ《約数和》[等分和]は、 定義の補足（命題７ー６）による。

数ＡＢが数ＣＤの《約数和》[等分和]であり、
　引き去られた数ＡＥが
　引き去られた数ＣＦの
　同じ《約数和》[等分和]であるとせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
  　図は、ＡＢが８、ＣＤが１２、
  　ＡＥが６、ＣＦが９による。
  　命題７ー６の補足２ (構成.同じ等分和となる第３、４数)
  による
• 　ＣＤ
  に対して、
  　ＡＢ(;;等分和(ＡＢ,ＣＤ)＝ｎＣＤ／ｍ))、
  　点Ｅ[ＡＢ;;ＡＥ;数]、
  　点Ｆ[ＣＤ;;等分和(ＡＥ,ＣＦ)＝等分和(ＡＢ,ＣＤ)＝ｎ／ｍ]
  をとっている。

ＡＢ全体が
　ＣＤ全体のいかなる《約数和》[等分和]であろうと、
　残りのＥＢも残りのＦＤの
　同じ《約数和》[等分和]である
　と主張する。

　ＧＨをＡＢに等しくせよ。
[......(a)]

• 　ＧＨ(;;＝ＡＢ)
  をとっている。

　ＧＨがＣＤのいかなる《約数和》[等分和]であろうと、
　ＡＥもＣＦの同じ《約数和》[等分和]である。
[......(１)]

• 命題の設定、
  公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　等分和(ＧＨ,ＣＤ)＝等分和(ＡＥ,ＣＦ)＝ｎ／ｍ
  となっている。

　ＧＨがＣＤの《約数》[等分数]ＧＫ［＝Ｋ1Ｋ'1、ＫiＫ'i、ＫnＫ'n＝］ＫＨに、
　ＡＥがＣＦの《約数数》[等分数]ＡＬ［＝Ｌ1Ｌ'1、ＬiＬ'i、ＬnＬ'n＝］ＬＥに
　分けられたとせよ。
[......(ｂ)]

• 定義７ー４（等分和(数)）
  により
  ＧＨ、ＡＥは
  ＣＤ、ＣＦの約数の何個か分である。
  
• 準一般的な証明である。
  コメント２（命題５ー１）参照のこと。
  一般化については、
  コメント５（命題５ー１） 参照のこと。
• 　ＧＨ＝Σ(ＫiＫ'i;等分(ＫiＫ'i,ＣＤ)＝ＣＤ／ｍ)、
  　ＡＥ＝Σ(ＬiＬ'i;等分(ＬiＬ'i,ＣＦ)＝ＣＦ／ｍ)
  となっている。

そうすれば、
　ＧＫ、［ＫiＫ'i、］ＫＨの個数は
　ＡＬ、［ＬiＬ'i、］ＬＥの個数に等しいであろう。

• (１)、 (ｂ)、
  定義の補足（命題７ー６）(同じ等分和)
  による。
  
• 　個数(ＧＫ,ＫiＫ'i,ＫＨ)＝個数(ＡＬ,ＬiＬ'i,ＬＥ)＝ｎ
  となっている。

そして
　ＧＫがＣＤのいかなる《約数》[等分]であろうと、
　ＡＬもＣＦの同じ《約数》[等分]であり、

• 　前節、(ｂ)
• 　等分(ＧＫ,ＣＤ)＝等分(ＡＬ,ＣＦ)＝１／ｍ
  となっている。

　ＣＤはＣＦより大きいから、

• 　命題の設定による。
• 　ＣＤ＞ＣＦ
  となっている。

　ＧＫもＡＬより大きい。
[......(２)]

• 定義の補足（命題７ー５）（同じ等分）、
  公理１ー８の補足４（大きい・小さいもののｎ倍・ｎ等分）
  による。
• 　ＧＫ＞ＡＬ
  となっている。

　ＧＭをＡＬに等しくせよ。

• 命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  による。
• 　点Ｍ(ＧＫ;;ＧＭ＝ＡＬ)
  をとっている。

そうすれば、
　ＧＫがＣＤのいかなる《約数》[等分]であろうと、
　ＧＭもＣＦの同じ《約数》[等分]である。

• (２)、
  公理１ー１（同じものに等しい）、
  による。
• 　等分(ＧＫ,ＣＤ)＝等分(ＧＭ,ＣＦ)＝１／ｍ
  となっている。

ゆえに
　残りのＭＫも残りのＦＤの
　ＧＫ全体がＣＤ全体の《約数》[等分]であるのと
　同じ《約数》[等分]である。
[......(３)]

• 命題７ー７（差も同じ等分）
  による。
• 　等分(ＭＫ,ＦＤ)＝等分(ＧＫ,ＣＤ)＝１／ｍ
  となっている。

また
　［ＫiＫ'i、］ＫＨがＣＤのいかなる《約数》[等分]であろうと、
　［ＬiＬ'i、］ＥＬもＣＦの同じ《約数》[等分]であり、
　ＣＤはＣＦより大きいから、
　［ＫiＫ'i、］ＨＫも［ＬiＬ'i、］ＥＬより大きい。
[......(４)]

• （２） と同様である。
• 　等分(ＫiＫ'i,ＣＤ)＝等分(ＬiＬ'i,ＣＦ)＝１／ｍ、
  　等分(ＫＨ,ＣＤ)＝等分(ＥＬ,ＣＦ)＝１／ｍ、
  　ＣＤ＞ＣＦ
  により
  　ＫiＫ'i＞ＬiＬ'i
  　ＨＫ＞ＥＬ
  となっている。

［ＫiＮiをＬiＬ'iに、］
　ＫＮをＥＬに等しくせよ。

• 命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  による。
• 　点Ｎi(ＫiＫ'i;;ＫiＮi＝ＬiＬ'i)
  　点Ｎ(ＫＨ;;ＫＮ＝ＥＬ)
  をとっている。

そうすれば、
　［ＫiＫ'i、］ＫＨがＣＤのいかなる《約数》[等分]であろうと、
　［ＫiＮi、］ＫＮもＣＦの同じ《約数》[等分]である。

• (４),公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　等分(ＫiＫ'i,ＣＤ)＝等分(ＫiＮi,ＣＦ)＝１／ｍ
  　等分(ＫＨ,ＣＤ)＝等分(ＫＮ,ＣＦ)＝１／ｍ
  となっている。

それゆえ
　残りの［ＮiＫ'i、］ＮＨも残りのＦＤの、
　［ＫiＫ'i、］ＫＨ全体がＣＤ全体の等分であるのと
　同じ等分である。

• 命題７ー７（差も同じ等分）
  による。
• 　等分(ＮiＫ'i,ＦＤ)＝等分(ＫiＫ'i,ＣＤ)＝１／ｍ
  　等分(ＮＨ,ＦＤ)＝等分(ＫＨ,ＣＤ)＝１／ｍ
  となっている。

ところが
　残りのＭＫも残りのＦＤの、
　ＧＫ全体がＣＤ全体の《約数》[等分]であるのと
　同じ《約数》[等分]である
　ことが証明された。

• （３） による。
• 　等分(ＭＫ,ＦＤ)＝等分(ＧＫ,ＣＤ)＝１／ｍ
  となっていた。

ゆえに
　ＧＨ全体がＣＤ全体のいかなる《約数和》[等分和]であろうと、
　ＭＫ、［ＫiＮi、］ＮＨの和もＤＦの同じ《約数和》[等分和]である。

• 公理の補足３（命題５ー１）(１対１対応)
  により、
  同じ《約数》[等分数]の個数が
  １対１に対応していて
  等しいということ。
  
• 　等分和(ＧＨ,ＣＤ)＝等分和(ＭＫ＋ＫiＮi＋ＮＨ,ＤＦ)＝ｎ／ｍ
  となっている。

ところが
　ＭＫ、［ＫiＮi、］ＮＨの和はＥＢに、
　ＨＧはＢＡに等しい。

• 公理１ー３（等しいものから等しいものをひく） 、
  （ａ） による。
• 　ＭＫ＋ΣＫiＮi＋ＮＨ＝ＥＢ、
  　ＨＧ＝ＢＡ
  となっている。

したがって
　残りのＥＢは残りのＦＤの、
　ＡＢ全体がＣＤ全体の《約数和》[等分和]であるのと
　同じ《約数和》[等分和]である。

• 公理１ー１の補足（等しいものに等しい）
  による。
• 　等分和((ＥＢ;＝ＡＢーＡＥ),(ＦＤ;＝ＣＤーＣＦ))
  　＝等分和(ＡＢ,ＣＤ)＝ｎ／ｍ
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題７ー８は、
  　等分和(Ａ,Ｃ)＝等分和(Ｅ,Ｆ)＝ｎ／ｍ
  ならば、
  　等分和(ＡーＥ,ＣーＦ)＝等分和(Ａ,Ｃ)＝ｎ／ｍ
  すなわち、
  　Ａ＝ｎＣ／ｍ、Ｅ＝ｎＦ／ｍ
  ならば
  　ＡーＥ＝ｎ(ＣーＦ)／ｍ
  のことである。
  
• 命題７ー８は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-4,補(題7-5),補(題7-6)
  公準
  公理		1-1,1-1補,1-3,1-8補4,補3(題5-1)
  命題	1-3補,7-6補2	7-7
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題5-1),コ5(題5-1)

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