ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題９ー６（２乗して立方数なら立方数）
もし
　ある数が２乗して
　立方数をつくる
ならば、
　それ白身も立方数
であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• ２乗は、
  定義７ー１９の補足による。
• 立方数は、
  定義７ー２０による。

　数Ａが２乗して
　立方数Ｂをつくる
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　数Ｄがあって、
  　Ａ^2＝Ｂ、Ｂ＝Ｄ^3
  となっている。
  

　Ａも立方数である
と主張する。

　ＡがＢにかけて
　Ｃをつくる
とせよ。
　　　　　　[......(a)]

• 　Ａ×Ｂ＝Ｃ、Ｃ＝Ａ^3
  となっている。

そうすれば
　Ａは２乗してＢをつくり、
　ＢにかけてＣをつくった

• 　命題の設定、 （ａ）による

から、
　Ｃは立方数である。

• 　前節、
  　定義７ー２０の補足（３乗）
  による。
  
• 　Ｃ＝Ａ^3
  となっている。
  

そして
　Ａは２乗してＢをつくった

• 　命題の設定による。
• 　Ａ^2＝Ｂ
  となっている。
  

から、
　ＡがＢを割った商は
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ｂ／Ａ＝Ａ
  となっている。
  

ところが
　単位がＡを割った商も
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ａ／１＝Ａ
  となっている。
  

それゆえ
　単位がＡに対するように、
　ＡがＢに対する。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、前々節
  により、
  　商が等しい
  ので、
  　定義７−２１（比例）
  による。
  
• 　１：Ａ＝Ａ：Ｂ
  となっている。
  

そして
　ＡはＢにかけてＣをつくった

• 　（ａ）による
• 　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  となっている。

から、
　ＢがＣを割った商は
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ｃ／Ｂ＝Ａ
  となっている。
  

ところが
　単位がＡを割った商も
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ａ／１＝Ａ
  となっている。
  

ゆえに
　単位がＡに対するように、
　ＢがＣに対する。

• 　前節、前々節
  により、
  　商が等しい
  ので、
  　定義７−２１（比例）
  による。
  
• 　１：Ａ＝Ｂ：Ｃ
  となっている。
  

ところが
　単位がＡに対するように、
　ＡがＢに対する。

• 　（１）による。

したがって
　ＡがＢに対するように、
　ＢがＣに対する。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｃ
  となっている。
  

そして
　Ｂ、Ｃは立方数である

• 　命題の設定、 （ａ）による
• 　前節、
  　命題８ー２５（３項立方数の比例の第４項）
  により、
  　Ａが立方数である
  ことがわかる。
  　Ｂ、Ｃの辺はＤ、Ａ
  であるから、
  　Ａの辺とＢの辺の比は
  　Ｄ：Ａ
  となるので。
  　Ａの辺はＤ／Ａ×Ｄ
  となる。
  

から、
　相似な立体数である。

• 　前節、
  　命題８ー２５の補足（立方数は相似）
  による。
  

それゆえ
　Ｂ、Ｃの開には
　２つの比例中項数が入る。

• 　前節、
  　命題８ー１９の補足（構成.相似な立体数の比例中項）
  による。
• 　ＢとＣの辺の比は
  　Ｄ：Ａ
  だから、
  　Ｂ(Ｄ^3)：Ｄ^2×Ａ
  　＝Ｄ^2×Ａ：Ｄ×Ａ^2
  　＝Ｄ×Ａ^2：Ｃ(Ａ^3)
  となっている。
  

そして
　ＢがＣに対するように、
　ＡがＢに対する。
　　　　　　[......(３)]

• 　（２）による。
• 　Ｂ：Ｃ＝Ａ：Ｂ
  となっている。
  

ゆえに
　Ａ、Ｂの間にも
　２つの比例中項数が入る。

• 　前節、前々節、
  　命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）
  による。
  
• 　Ｂ、Ｃの辺はＤ、Ａ
  であるから、
  　Ａの辺とＢの辺の比は
  　Ｄ：Ａ
  となるので。
  　Ａ：Ａ／Ｄ×Ａ(Ａ^2／Ｄ)
  　＝Ａ^2／Ｄ：Ａ^2／Ｄ／Ｄ×Ａ(Ａ^3／Ｄ^2)
  　＝Ａ^3／Ｄ^2：Ａ^3／Ｄ^2／Ｄ×Ａ(Ａ^4／Ｄ^3＝Ｂ)
  となっている。
  

そして
　Ｂは立方数である。

• 　命題の設定である。

したがって
　Ａも立方数である。

• 　前々節
  　命題７ー１３（比例４数はいれかえても比例）
  により、
  　Ｂ：Ａ^3／Ｄ^2
  　＝Ａ^2／Ｄ／Ｄ×Ａ(Ａ^3／Ｄ^2)：Ａ^2／Ｄ
  　＝Ａ／Ｄ×Ａ(Ａ^2／Ｄ)：Ａ
  となっており、
  　これと前節、
  　命題８ー２３（順次比例と立方数）
  による。
  
• 　ＣとＢの辺の比はＡ：Ｄ
  だから、
  　ＢとＡの辺の比もＡ：Ｄ
  となり
  　Ａの辺はＤ／Ａ×Ｄ(Ｄ^2／Ａ)
  となっている。
  　すなわち、
  　Ａ＝(Ｄ^2／Ａ)^3
  となっている。
  

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー６は、
  　Ａ；数、
  　Ａ^2＝Ｂ；立方数
  ならば、
  　Ａ；立方数
  のことである。
  
• 命題９ー６は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-8補, 7-20補,7-21
  公準
  公理
  命題	8-8補,8-19補	5-11,7-13,8-23,8-25,8-25補
  その他	コ4(題7-1)

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