ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー２０（比例中項と相似な平面数）
（構成.相似な平面数の辺）
もし
　２つの数の間に
　１つの比例中項数が入る
ならば、
　それらの数は相似な平面数で
あろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 比例中項は、
  定義の補足３（命題６ー８）による。
• 相似は、
  定義７ー２２による。
• 平面数は、
  定義７ー１７による。

　２数Ａ、Ｂの間に
　１つの比例中項数Ｃが入る
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｂ
  となっている。

　Ａ、Ｂは相似な平面数である
と主張する。

　Ａ、Ｃと同じ比をもつ
　数のうちで
　最小な数Ｄ、Ｅがとられた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題７ー３３（構成.任意個の比例で最小数）
  による。
• 　Ａ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ、Ｄは最小
  となっている。

そうすれば
　ＤがＡを、
　ＥがＣを割った商は等しい。
　　　　　　[......(１)]

• 　前項、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  による。
  
• 　Ａ／Ｄ＝Ｃ／Ｅ
  となっている。

そこで
　ＤがＡを割った商に
　等しい個数の単位が
　Ｆのなかにある
とせよ。
　　　　　　[......(２)]

• 　Ａ／Ｄ＝Ｆ
  となっている。
• 　（１）により、
  　Ｃ／Ｅ＝Ｆ
  ともなっている。

そうすれば
　ＦはＤにかけてＡをつくった。

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  　定義７ー１６（かける）
  による。
• 　Ｆ×Ｄ＝Ａ
  となっている。

したがって
　Ａは平面数であり、
　Ｄ、Ｆがその辺である。
　　　　　　[......(３)]

• 　定義７ー１７（平面数）
  による。
• 　Ｆ×Ｄ＝Ａ
  となっている。

また
　Ｄ、Ｅは
　Ｃ、Ｂと同じ比をもつ数のうち
　最小である

• 　命題の設定、 （ａ）、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。

から、
　ＤがＣを、
　ＥがＢを割った商は等しい。

• 　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  による。

そこで
　ＥがＢを割った商に
　等しい個数の単位が
　Ｇのなかにある
とせよ。

そうすれば
　ＥがＢを割った商は
　Ｇのなかにある単位の個数である。

• 　Ｂ／Ｅ＝Ｇ
  となっている。

ゆえに
　ＧはＥにかけてＢをつくった。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  　定義７ー１６（かける）
  による。
• 　Ｇ×Ｅ＝Ｂ
  となっている。
  

したがって
　Ｂは平面数であり、
　Ｅ、Ｇはその辺である。

• 　定義７ー１７（平面数）
  による。
• 　Ｅ×Ｇ＝Ｂ
  となっている。

それゆえ
　Ａ、Ｂは平面数である。
　　　　　　[......(５)]

• 　（３）、前節による。
• 　Ｆ×Ｄ＝Ａ、Ｅ×Ｇ＝Ｂ
  となっている。

次に
　相似でもある
と主張する。

なぜなら
　ＦはＤにかけてＡをつくり、
　ＥにかけてＣをつくった
　　　　　　[......(６)]

• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  参照のこと。
  
• 　（３）により、
  　Ｆ×Ｄ＝Ａ
  となっており、
  　（１）、 （２）により、
  　Ｆ×Ｅ＝Ｃ
  となっている。
  

から、
　ＤがＥに対するように、
　ＡがＣに、
　すなわち
　ＣがＢに対する。
　　　　　　[......(７)]

• 　前節、 命題の設定による。
• 　Ｄ：Ｅ＝Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｂ
  となっている。

また
　ＥはＦ、Ｇにかけて
　それぞれ
　Ｃ、Ｂをつくった

• 　（６）、 （４）による。
• 　Ｅ×Ｆ＝Ｃ、Ｅ×Ｇ＝Ｂ
  となっている。

から、
　ＦがＧに対するように、
　ＣがＢに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
  
• 　Ｆ：Ｇ＝Ｃ：Ｂ
  となっている。

ところが
　ＣがＢに対するように、
　ＤがＥに対する。

• 　（７）による。
• 　Ｃ：Ｂ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。

したがって
　ＤがＥに対するように、
　ＦがＧに対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ｄ：Ｅ＝Ｆ：Ｇ
  となっている。

そして
　いれかえて
　ＤがＦに対するように、
　ＥがＧに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１３（比例４数はいれかえても比例）
  による。
• 　Ｄ：Ｆ＝Ｅ：Ｇ
  となっている。

よって
　Ａ、Ｂは相似な平面数である。

• 　前節、 （５）、
  　定義７−２２（相似な平面数・立体数）
  による。
  
• 　Ｆ×Ｄ＝Ａ、Ｅ×Ｇ＝Ｂ
  となっている。
  

なぜなら
　それらの辺は比例するから。

• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  参照のこと。
  
• 　前節のことをのべている。

　これが証明すべきことであった。

• 　本命題の証明の過程
  から、
  　以下のことが整理される。
  
  　相似な平面数Ａ、Ｂについて、
  　命題８ー１８（相似な平面数と比例中項）
  により、
  　Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｂ
  となるように
  　Ｃをとり、
  　命題７ー３３（構成.任意個の比例で最小数）
  により、
  　Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｂ＝Ｄ：Ｅ（最小）
  となるように
  　Ｄ、Ｅをとり、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  により、
  　Ａ／Ｄ＝Ｆ、Ｂ／Ｅ＝Ｇ
  となる
  　Ｆ、Ｇをとれ
  ば、
  　Ｄ：Ｅ＝Ｆ：Ｇ
  となり、
  　Ｆ：Ｄ＝Ｇ：Ｅ
  となっる。
  したがって、
  　相似な平面数Ａ、Ｂの比例中項をＣ、
  　Ａ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ（最小）
  とすれば、
  　Ａ＝（Ａ／Ｄ）×Ｄ、Ｂ＝（Ｂ／Ｅ）×Ｅ
  また、
  　比例中項Ｃ＝（Ａ／Ｄ）×Ｅ
  
  (以下、命題８ー２０の補足（構成.相似な平面数の辺）という。)
• 命題８ー２０は
  　Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｂ
  ならば、
  　命題７ー３３（構成.任意個の比例で最小数）
  により、
  　Ａ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ（最小）
  をとり、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  により、
  　Ａ＝Ａ／Ｄ×Ｄ、
  　Ｂ＝Ｂ／Ｅ×Ｅ
  　　Ａ／Ｄ＝Ｂ／Ｅ
  　　Ａ／Ｄ：Ｂ／Ｅ＝Ｄ：Ｅ
  となり、
  　Ａ、Ｂ；相似な平面数、
  のことである。
  
• 命題８ー２０の補足（構成.相似な平面数の辺）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	7-33	7-20,8-18,8-20
  その他

• 命題８ー２０は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-8補,7-16,7-17,7-22
  公準
  公理
  命題	7-33	5-11,7-13,7-17,7-20
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題1-16)

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