ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー２７（互いに素の２(３)乗は互いに素）
もし
　２つの数が互いに素であり、
　双方が２乗してある数をつくる
ならば、
　これらの積は
　互いに素
であろう。

• 数は、 定義７ー２による。
• 互いに素は、 定義７ー１３による。
• ２乗は、 定義７ー１９の補足による。
• 積は、 定義７ー１６の補足２による。

　Ａ、Ｂを
　互いに素である２数
とし、

• 「数（について）・・・とせよ」は、 コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
• 　命題７ー２３の補足２(構成.互いに素(最小数の比)
  により、
  　数Ａ;(互いに素)数Ｂ
  をとっている。

　Ａが
　２乗してＣをつくり、
　ＣにかけてＤをつくる
とし、

• 　数Ｃ(;;＝Ａ×Ａ)、
  　数Ｄ(;;＝Ａ×Ｃ)
  をとっている。

　Ｂが
　２乗してＥをつくり、
　ＥにかけてＦをつくる
とせよ。

• 　数Ｅ(;;＝Ｂ×Ｂ)、
  　数Ｆ(;;＝Ｂ×Ｄ)
  をとっている。

　ＣはＥと、
　ＤはＦと互いに素である
と主張する。

　Ａ、Ｂは
　互いに素であり、

• 命題の設定による。
• 　Ａ;(互いに素)Ｂ
  となっている。

　Ａは
　２乗してＣをつくった

• 命題の設定による。
• 　Ｃ;＝Ａ×Ａ
  となっている。

から、
　Ｃ、Ｂは
　互いに素である。
　　　　　[......(１)]

• 命題７ー２５ （対して素なら２乗も対して素）
  による。
• 　Ｃ;(互いに素)Ｂ
  となっている。

そこで
　Ｃ、Ｂは
　互いに素であり、

• 前節の結果である。
• 　Ｃ;(互いに素)Ｂ
  となっている。

　Ｂは
　２乗してＥをつくった

• 命題の設定 による。
• 　Ｅ;＝Ｂ×Ｂ
  となっている。

から、
　Ｃ、Ｅは
　互いに素である。
[......(２)]

• 命題７ー２５ （対して素なら２乗も対して素）
  による。
• 　Ｅ;(互いに素)Ｃ
  となっている。

また
　Ａ、Ｂは
　互いに素であり、

• 命題の設定による。
• 　Ａ;(互いに素)Ｂ
  となっている。

　Ｂは
　２乗してＥをつくった

• 命題の設定による。
• 　Ｅ;＝Ｂ×Ｂ
  となっている。

から、
　Ａ、Ｅは
　互いに素である。
　　　　　　[......(３)]

• 命題７ー２５ （対して素なら２乗も対して素）
  による。
• 　Ｅ;(互いに素)Ａ
  となっている。

そこで
　２数Ａ、Ｃは
　共に２数Ｂ、Ｅの双方に対し素である

• 命題の設定、 （３）、 （１）、 （２）による。
• 　(Ａ、Ｃ);(互いに素)(Ｂ、Ｅ)
  となっている。

から、
　Ａ、Ｃの積は
　Ｂ、Ｅの積に対し素である。

• 命題７ー２６（２数が２数に対して素の積）
  による。
• 　(Ａ×Ｃ);(互いに素)(Ｂ×Ｅ)
  となっている。

そして
　Ａ、Ｃの積はＤであり、
　Ｂ、Ｅの積はＦである。

• 命題の設定の２節、 ３節 による。
• 　(Ａ×Ｃ、Ｂ×Ｅ);＝(Ｄ、Ｆ)
  となっている。

よって
　Ｄ、Ｆは互いに素である。

• 公理の補足２（命題７ー４）（約数・等分(倍数)での代入の原理）
  による。
• 　Ｄ;(互いに素)Ｆ
  となっている。

　これが証明すべきことであった。

• 命題７ー２７は、
  　数Ａ;(互いに素)数Ｂ
  をとれば、
  　Ａ×Ａ;(互いに素)Ｂ×Ｂ
  　Ａ×Ａ×Ａ;(互いに素)Ｂ×Ｂ×Ｂ
  のことである。
• 命題７ー２７は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理		補2(題7-4)
  命題	7-23補2	7-25,7-26
  その他	コ4(題7-1)

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