ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１０９（中項面積から有理面積を引いた残りの面積に等しい正方形の辺は第１の中項余線分か中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺）
　　中項面積から
　有理面積が
　　　ひかれる
ならば，
　　他の２種の無理線分，
　　すなわち
　　第１の中項余線分か
　　中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺が
　　　生ずる。

• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• 有理面積は、
  定義１０ー４の補足による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
• 第１の中項余線分は、
  定義の補足（命題１０ー７４）による。
• 中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺は、
  定義の補足（命題１０ー７７）による。

　　中項面積ＢＣから
　有理面積ＢＤが
　　　ひかれた
とせよ。

• 　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  により、
  　矩形(ＡＢ、ＡＣ’)；中項面積
  をとり、
  　命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）
  により
  　矩形ＹＺ；有理面積
  をとり、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　矩形(ＡＢ、ＡＤ’)＝矩形ＹＺ
  をとり、
  　ＡＣ’＜ＡＤ’
  ならば
  　公準１ー２の補足（アルキメデスの原理）
  により、
  　自然数ｎを適当に決めて、
  　ｎＡＣ’＞ＡＤ’
  とし、
  　ＡＣ＝ｎＡＣ’、
  　Ｄ(ＡＣ；ＡＤ＝ＡＤ’)
  をとり、
  　矩形(ＡＢ、ＡＣ)、
  　交点Ｅ(垂線(Ｂ、ＡＢ)、垂線(Ｄ、ＡＣ))、
  　矩形(ＡＢ、ＡＤ)
  をとる。
  
• 　矩形ＢＣ；中項面積、
  　矩形ＢＤ；有理面積
  となっている。

　　残りのＥＣ
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　２種の無理線分の一，
　　すなわち
　　第１の中項余線分か
　　または
　　中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
　　　である
と主張する。

[......(２)]
　有理線分ＦＧが
　　　定められ，

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  による。
• 　ＦＧ；有理線分
  となっている。

そして
同様にして
　矩形が
　　　つくられた
とせよ。

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　ＦＨ、ＦＫをとる。
• 　矩形ＢＣ＝矩形ＧＨ
  　矩形ＤＢ＝矩形ＧＫ
  　矩形ＥＣ＝矩形ＬＨ
  となっている。

そうすれば
　　その結果
　ＦＨは
　　有理線分
　　　であり
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できず，
　ＫＦは
　　有理線分
　　　であり
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できる。
　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約）
  による。
• 　ＦＨ；有理線分、¬∩ＦＧ、
  　ＫＦ；有理線分、∩ＦＧ
  となっている。

したがって
　ＦＨ、ＦＫは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＦＨ∩^^2 ＦＫ
  となっている。

それゆえ
　ＫＨは
　　余線分
　　　であり，
　ＦＫは
　　それへの付加
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＫＨ；余線分、
  　ＦＫ；余線分への付加
  となっている。

そこで
　ＨＦ上の正方形は
　　ＦＫ上の正方形より
　　ＨＦと通約
　　　できるか
または
　　通約
　　　できない

　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　場合分けとなっている。
• 　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
  による。
• 　正方(_ＨＦ)＝正方(_ＦＫ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ∩ＨＦ　ｘｏｒ　¬∩ＨＦ
  となっている。

そこで
もし
　ＨＦ上の正方形が
　　ＦＫ上の正方形より
　　ＨＦと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく

• 　第１の場合である。
• 　前節による。
• 　Ｘ∩ＨＦ
  となっている。

　　　付加された
　線分ＦＫが
　　　定められた
　　有理線分ＦＧと
　　長さにおいて通約
　　　できる

• 　（１）
  による。
• 　ＦＫ∩ＦＧ
  となっている。

ならば，
　ＫＨは
　　第２の余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０�Vー２（第２の余線分）
  による。
• 　ＫＨ；第２の余線分
  となっている。

ところが
もし
　ＨＦ上の正方形が
　　ＦＫ上の正方形より
　　ＨＦと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく

• 　第１の場合である。
• 　前節による。
• 　Ｘ∩ＨＦ
  となっている。

　ＦＧは
　　有理線分
　　　である。

• 　（２）による。
• 　ＦＧ；有理線分
  となっている。

したがって
　　ＬＨ,
　　すなわち
　　ＥＣ
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　第１の中項余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー９２（有理線分と第２の余線分の矩形に等しい正方形の辺は第１の中項余線分）
  による。
• 　辺.正方(_；＝矩形ＬＨ＝矩形ＥＣ)；第１の中項余線分
  となっている。

ところが
もし
　ＨＦ上の正方形が
　　ＦＫ上の正方形より
　　ＨＦと通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく

• 　第２の場合である。
• 　Ｘ¬∩ＨＦ
  となっている。

　　　付加された
　線分ＦＫが
　　　定められた
　　有理線分ＦＧと
　　長さにおいて通約
　　　できる

• 　（１）
  による。
• 　ＦＫ∩ＦＧ
  となっている。

ならば，
　ＫＨは
　　第５の余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０�Vー５（第５の余線分）
  による。
• 　ＫＨ；第５の余線分
  となっている。

したがって
　　ＥＣ
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー９５（有理線分と第５の余線分の矩形に等しい正方形の辺は中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺）
  による。
• 　辺.正方(_；＝矩形ＥＣ)；中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 　場合分け終了である。

• 命題１０ー１０９は、
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  により
  　矩形ＡＢＷＣ(ＡＢ、ＡＣ)
  をとり、
  　命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）
  により、
  　矩形ＡＢＥＤ(ＡＢ、ＡＤ)；有理面積
  をとると、
  　矩形ＢＣ；中項面積、
  　矩形ＢＤ；有理面積
  となり、
  　命題６ー１３（作図.２線分の比例中項）
  により、
  　比例中項(ＢＤ、ＢＣ)
  をとれば、
  　辺.正方(_;＝矩形ＥＣ)＝比例中項(ＢＤ、ＢＣ)
  　　；第１の中項余線分か
  　　　中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
  のことである。
• 命題１０ー１０９は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,補(題10-73),10�V-2,10�V-5
  公準		1-2補
  公理
  命題	6-16補3,補2(義10-3),10-14助,10-27,10-28	10-20,10-22,10-92,10-95
  その他		場合分け

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