ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー８１（第２の中項余線分に付加して全体と平方のみ通約となり、全体と中項面積をかこむ中項線分は唯一）
　第２の中項余線分には
　　それに
　　　付加されて
　　全体と平方においてのみ通約
　　　でき、
　　全体と共に中項面積を
　　　かこむ
　ただ一つの中項線分がある。

• 第２の中項余線分は、
  定義の補足（命題１０ー７５）による。
• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• かこむは、
  定義２ー１による。
• 中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。

　　ＡＢを
　　第２の中項余線分
とし、
　　ＡＢに
　ＢＣが
　　　付加された
とせよ。
そうすれば
　ＡＣ、ＣＢは
　　平方においてのみ通約
　　　でき、
　　中項面積である矩形ＡＣ、ＣＢを
　　　かこむ
　　中項線分
である。

• 　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  により、
  　２中項線分を
  　　とり、
  　大きい方を
  　　　ＡＣ、
  　小さい方を
  　　　ＢＣ
  とする。
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　Ｂ’(ＡＣ;Ｂ’Ｃ＝ＢＣ)をとり、
  改めて、
  　Ｂ’を
  　　　Ｂ
  　　とする。
  
• 　ＡＢ；第２の中項余線分
  　　ＡＣ、ＢＣ；中項線分、
  　　ＡＣ∩^^2 ＢＣ
  　　矩形(ＡＢ、ＢＣ)；中項面積
  となっている。

　ＡＢには
　　全体と平方においてのみ通約
　　　でき、
　　全体と共に中項面積を
　　　かこむ
　他のいかなる中項線分も
　　　付加されない
と主張する。

もし可能ならば、
　ＢＤが
　　付加された
とせよ。

• 背理法の仮定を 述べようとしている。

そうすれば
　ＡＤ、ＤＢは
　　平方においてのみ通約
　　　でき、
　　中項面積である矩形ＡＤ、ＤＢを
　　　かこむ
　　中項線分
　　　である。

• 　背理法の仮定である。
• 　ＡＤ、ＤＢ；中項線分
  　　ＡＤ∩^^2 ＤＢ、
  　　矩形(ＡＤ、ＤＢ)；中項面積
  となっている。

　有理線分ＥＦが
　　　定められ、
　　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和に
　　　等しく、
　　ＥＦ上にＥＭを幅とする
　ＥＧが
　　　つくられた
とせよ。
そして
　　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍に
　　　等しく
　　ＨＭを
　　　幅とする
　ＨＧが
　　　ひかれた
とせよ。
[......(１)]

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　ＥＦ；有理線分、
  　矩形ＥＧ(ＥＦ、ＥＭ)＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)）、
  　矩形ＨＧ(ＥＦ、ＨＭ)＝２矩形(ＡＢ、ＢＣ)、
  となっている。

そうすれば
　残りのＥＬは
　　ＡＢ上の正方形に
　　　等しい。

• 　前節、
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　矩形ＥＬ＝正方(_ＡＢ)
  となっている。

ゆえに
　ＡＢは
　　ＥＬに
　　　等しい
　　正方形の辺
　　　である。

• 　前節による。
• 　正方(_ＡＢ)＝矩形ＥＬ
  となっている。

また
　　ＡＤ、ＤＢ上の正方形に
　　　等しく
　　ＥＦ上にＥＮを
　　　幅とする
　ＥＩが
　　　つくられた
とせよ。

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　矩形ＥＩ(ＥＦ、ＥＮ)＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)、
  となっている。

ところが
　ＥＬは
　　ＡＢ上の正方形に
　　　等しい。

• 　前々節による。
• 　矩形ＥＬ＝正方(_ＡＢ)
  となっている。

したがって
　残りのＨＩは
　　矩形ＡＤ、ＤＢの２倍に
　　　等しい。

• 　前節、前々節、
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　矩形ＨＩ＝２矩形(ＡＤ、ＤＢ)
  となっている。

そして
　ＡＣ、ＣＢは
　　中項線分
　　　である

• 　命題の設定による。
• 　ＡＣ、ＣＢ；中項線分
  となっている。

から、
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形も
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　正方(_ＡＣ)、正方(_ＣＢ)；中項面積
  となっている。

そして
　　ＥＧに
　　　等しい。

• 　（１）による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＝矩形ＥＧ
  となっている。

それゆえ
　ＥＧも
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、 命題の設定、
  　命題１０ー２３の補足５(平方で通約の中項線分の平方和は中項面積)
  による。
• 　矩形ＥＧ；中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＥＦ上に
　　ＥＭを幅として
　　　つくられている。

• 　（１）による。
• 　矩形ＥＧ；矩形（ＥＦ，ＥＭ）、
  　　ＥＦ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＥＭは
　　有理線分
　　　であり
　　ＥＦと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＥＭ；有理線分、
  　　ＥＭ¬∩ＥＦ
  となっている。

また
　矩形ＡＣ、ＣＢは
　　中項面積
　　　である

• 　命題の設定による。
• 　矩形(ＡＣ、ＣＢ)；中項面積
  となっている。

から、
　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍も
　　中項面積
　　　である。
　　そして
　　ＨＧに
　　　等しい。

• 　前節、 （１）、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　２矩形(ＡＣ、ＣＢ)＝矩形ＨＧ；中項面積
  となっている。

したがって
　ＨＧも
　　中項面積
　　　である。
そして
　　有理線分ＥＦ上に
　　ＨＭを幅として
　　　つくられている。

• 　前節、 　（１）
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
  
• 　矩形ＨＧ；中項面積、
  　　＝矩形(ＥＦ、ＨＭ)
  となっている。

ゆえに
　ＨＭも
　　有理線分
　　　であり
　　ＥＦと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
  
• 　ＨＭ；有理線分
  　　¬∩ＥＦ
  となっている。

そして
　ＡＣ、ＣＢは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
から、
　ＡＣは
　　ＣＢと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　命題の設定、
  　定義の補足（命題１０ー１９助）(平方においてのみ通約)
  による。
• 　ＡＣ∩^^2 ＣＢ、
  　　¬∩ＣＢ
  となっている。

ところが
　ＡＣが
　　ＣＢに
　　　対するように、
　ＡＣ上の正方形が
　　矩形ＡＣ、ＣＢに
　　　対する。

• 　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
• 　ＡＣ：ＣＢ＝正方(_ＡＣ)：矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。

したがって
　ＡＣ上の正方形は
　　矩形ＡＣ、ＣＢと通約
　　　できない。

• 　前節、前々節による。
• 　正方(_ＡＣ)¬∩矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。

ところが
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和は
　　ＡＣ上の正方形と通約
　　　でき、
　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍は
　　矩形ＡＣ、ＣＢと通約
　　　できる。

• 　命題の設定、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
  
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)∩正方(_ＡＣ)、
  　矩形(ＡＣ、ＣＢ)∩２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。

したがって
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和は
　　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍と通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)¬∩２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。

そして
　ＥＧは
　　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和に
　　　等しく、
　ＧＨは
　　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍に
　　　等しい。

• 　（１）による。
• 　矩形ＥＧ＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)、
  　矩形ＧＨ＝２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。

したがって
　ＥＧは
　　ＨＧと通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　矩形ＥＧ¬∩矩形ＨＧ
  となっている。

ところが
　ＥＧが
　　ＨＧに
　　　対するように、
　ＥＭが
　　ＨＭに
　　　対する。

• 　（１）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　矩形ＥＧ：矩形ＨＧ＝ＥＭ：ＨＭ
  となっている。

したがって
　ＥＭは
　　ＭＨと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＥＭ¬∩ＭＨ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分
　　　である。

• 　（２） （３）による。　
• 　ＥＭ、ＭＨ；有理線分
  となっている。

ゆえに
　ＥＭ、ＭＨは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＥＭ、ＭＨ；有理線分
  　　ＥＭ∩^^2 ＭＨ
  となっている。

したがって
　ＥＨは
　　余線分
　　　であり、
　ＨＭが
　　それに付加
　　　されている。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＥＨ；余線分、
  　ＥＭ、ＨＭ、有理線分、
  　ＥＭ∩^^2 ＨＭ
  となっている。

同様にして
　ＨＮも
　　それに付加
　　　される
ことを証明しうる。

• 　背理法の仮定による。

したがって
　余線分に
　　全体と平方においてのみ通約
　　　できる
　異なった２線分が
　　　付加される。

• 　前節による。

　これは
　　不可能
　　　である。

• 　前節、
  　命題１０ー７９（余線分に付加して全体と平方のみ通約となる有理線分は唯一）
  による。

よって
　　第２の中項余線分には
　　それに付加
　　　されて
　　全体と平方においてのみ通約
　　　でき、
　　全体と共に中項面積を
　　　かこむ
　ただーつの中項線分が
　　　ある。

• 　背理法による。
• 　ＡＢ；第２の中項余線分
  　　ＡＣ、ＢＣ；中項線分、
  　　ＡＣ∩^^2 ＢＣ
  　　矩形(ＡＢ、ＢＣ)；中項面積
  　　　となる
  　中項線分は
  　　唯一
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー８１は、
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  により
  　ＡＣ；中項線分、
  　ＢＣ；中項線分、∩^^2 ＡＣ
  　　矩形(ＡＣ、ＣＢ)；中項面積、
  　　ＡＢ；ＡＣーＢＣ、第１の中項余線分
  をとり、
  　ＡＤ；中項線分、
  　ＢＤ；中項線分、∩^^2 ＡＤ
  　　矩形(ＡＤ、ＤＢ)；中項面積となるなら、
  　　ＢＤ＝ＢＣ
  のことである。
  
• 命題１０ー８１は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,補(題10-19助),補(題10-21),補2(題10-23),補(題10-73)
  公準
  公理
  命題	1-3,6-16補3,補2(義10-3),10-28	2-7,6-1,10-13,10-22,10-22助,10-23系,10-23補5,10-79
  その他		背理法

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