ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論
第１０巻
命題１０ー７９（余線分に付加して全体と平方のみ通約となる有理線分は唯一）
余線分には
それに付加されて
全体と平方においてのみ通約
できる
ただ一つの有理線分が
ある。
ＡＢを
余線分
とし、
ＢＣが
それに
付加された
とせよ。
そうすれば
ＡＣ、ＣＢは
平方においてのみ通約
できる
有理線分である．
ＡＢには
全体と
平方においてのみ通約
できる
他のいかなる線分も
付加されない
と主張する。
もし可能ならば、
ＢＤが
付加された
とせよ。
)]
そうすれば
ＡＤ、ＤＢは
平方においてのみ通約
できる
有理線分である。
-
背理法の仮定である。
-
ＡＤ∩^^2 ＤＢ
ＡＤ、ＤＢ；有理線分
となっている。
そして
ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和と
矩形ＡＤ、ＤＢの２倍との
差は
ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和と
矩形ＡＣ、ＣＢの２倍との差に
等しい。
なぜなら
その差は
共に同じＡＢ上の正方形
である
から。
-
命題２ー７（差の平方）
による。
-
「なぜなら」は、
コメント２（命題１ー１６）
参照のこと。
-
正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)ー２矩形(ＡＤ、ＤＢ)
＝正方(_ＡＢ)
＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)ー２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
となっている。
したがって
いれかえて
ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和と
ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和との
差は
矩形ＡＤ、ＤＢの２倍と
矩形ＡＣ、ＣＢの２倍との差に
等しい。
-
前節による。
-
正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)ー正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
＝２矩形(ＡＤ、ＤＢ)ー２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
となっている。
ところが
ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和と
ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和との
差は
有理面積
である。
なぜなら
両方とも
有理面積
である
から。
したがって
矩形ＡＤ、ＤＢの２倍は
矩形ＡＣ、ＣＢの２倍より
有理面積だけ
大きい。
-
前節による。
なお、
ＤＢ＞ＣＢを
前提としている。
ＤＢ＜ＣＢ
ならば、
「大きい」を
「小さい」とすればよい。
-
矩形(ＡＤ、ＤＢ)ー矩形(ＡＣ、ＣＢ)；有理面積
となっている。
これは不可能である。
なぜなら
両方とも
中項面積
であり、
中項面積と
中項面積の
差が
有理面積
であることはない
から。
したがって
ＡＢには
全体と平方においてのみ通約
できる
他のいかなる有理線分も
付加されない。
よって
余線分には
それに
付加されて
全体と平方においてのみ通約
できる
ただ一つの有理線分が
ある。
-
前節による。
-
ＡＣ；有理線分、
ＢＣ；有理線分、∩^^2 ＡＣ
ＡＢ；余線分
となる有理線分は唯一
となっている。
これが証明すべきことであった。
- 命題１０ー７９は、
命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
により
ＡＣ；有理線分、
ＢＣ；有理線分、∩^^2 ＡＣ
ＡＢ；余線分
をとり、
ＢＤ；有理線分、
ＡＤ；有理線分、
となるなら、
ＢＤ＝ＢＣ
のことである。
- 命題１０ー７９は推論用命題である。
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