ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー８０（第１の中項余線分に付加して全体と平方のみ通約となり、全体と有理面積をかこむ中項線分は唯一）
　第１の中項余線分には
　　それに付加
　　　されて
　　全休と平方においてのみ通約
　　　でき、
　　全体と共に有理面積を
　　　かこむ
　ただ一つの中項線分が
　　　ある。

• 第１の中項余線分は、
  定義の補足（命題１０ー７４）による。
• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 有理面積は、
  定義１０ー４の補足による。
• 中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。

　　ＡＢを
　　第１の中項余線分とし、
　　ＡＢに
　ＢＣが
　　　付加されたとせよ。
そうすれぱ
　ＡＣ、ＣＢは
　　平方においてのみ通約
　　　でき、
　　有理面積である
　　矩形ＡＣ、ＣＢを
　　　かこむ
　　中項線分である。

• 　命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）
  により、
  　２中項線分を
  　　とり、
  　大きい方を
  　　　ＡＣ、
  　小さい方を
  　　　ＢＣ
  とする。
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　Ｂ’(ＡＣ;Ｂ’Ｃ＝ＢＣ)をとり、
  改めて、
  　Ｂ’を
  　　　Ｂ
  　　とする。
  
• 　ＡＣ、ＢＣ；中項線分、
  　　ＡＣ∩^^2 ＢＣ
  　　矩形(ＡＢ、ＢＣ)；有理面積
  となっている。

　ＡＢには
　　全体と平方においてのみ通約
　　　でき、
　　全体と共に有理面積を
　　　かこむ
　他のいかなる中項線分も
　　　付加されない
と主張する。

もし
可能ならば、

• 　背理法の仮定を述べようとしている。

　ＤＢが
　　　付加された
とせよ。
そうすれば
　ＡＤ、ＤＢは
　　平方においてのみ通約
　　　でき、
　　有理面積である
　　矩形ＡＤ、ＤＢを
　　　かこむ
　　中項線分
　　　である。

• 　背理法の仮定である。
• 　ＤＢ、ＡＤ；中項線分、
  　　ＤＢ∩^^2 ＡＤ
  　矩形(ＡＤ、ＤＢ)；有理面積
  となっている。

そして
　　ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和と
　　矩形ＡＤ、ＤＢの２倍との
　差は
　　ＡＣ、ＣＢの上の正方形と
　　矩形ＡＣ、ＣＢ２倍との差に
　　　等しい。
なぜなら
　その差は
　　共に同じＡＢ上の正方形である
から．

• 　前節、前々節、
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　「なぜなら」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  参照のこと。
• 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)ー２矩形(ＡＤ、ＤＢ)
  　　＝正方(_ＡＢ)
  　　＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)ー２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。

したがって
いれかえて
　　ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和と
　　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和との
　差は
　　矩形ＡＤ．ＤＢの２倍と
　　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍との差に
　　　等しい。

• 　前節による。
• 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)ー２矩形(ＡＤ、ＤＢ)
  　　＝正方(_ＡＢ)
  　　＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)ー２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)ー２矩形(ＡＤ、ＤＢ)
  　　＝正方(_ＡＢ)
  　　＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)ー２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  

ところが
　矩形ＡＤ、ＤＢの２倍は
　　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍より
　　　有理面積だけ大きい、
なぜなら
　両方とも
　　有理面積
　　　である
から。

• 　命題の設定、
  背理法の仮定
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
  
• 　ＤＢ＞ＣＢを
  　　　前提としている。
  　　ＤＢ＜ＣＢ
  ならば、
  　　「大きい」を
  　　　「小さい」とすればよい。
  
• 　「なぜなら」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  参照のこと。
• 　２矩形(ＡＤ、ＤＢ)ー２矩形(ＡＣ、ＣＢ)；有理面積
  となっている。

したがって
　ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和は
　　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和より
　　有理面積だけ
　　　大きい。

• 　前節、前々節による。
• 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)ー（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)）
  　　；有理面積
  となっている。

これは不可能である。
なぜなら
　両方とも
　　中項面積
　　　であり、
　　中項面積と中項面積の
　差は
　　有理面積で
　　　ない
から。

• 　前節、
  　命題１０ー２６（中項面積の差は無理面積）
  による。
• 　「なぜなら」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  参照のこと。　

よって
　第１の中項余線分には
　　それに付加されて
　　全体と平方においてのみ通約
　　　でき、
　　全体と共に有理面積を
　　　かこむ
　ただ一つの中項線分が
　　　ある。

• 　前節、前々節、
  　背理法による。
• 　ＡＣ；有理線分、
  　ＢＣ；有理線分、∩^^2 ＡＣ
  　ＡＢ；余線分
  となる有理線分は唯一
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー８０は、
  　命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）　
  により
  　ＡＣ；中項線分、
  　ＢＣ；中項線分、∩^^2 ＡＣ
  　　ＡＢ；ＡＣーＢＣ、第１の中項余線分
  　　矩形(ＡＣ、ＣＢ)；有理面積
  をとり、
  　ＢＤ；中項線分、
  　ＡＤ；中項線分、∩^^2 ＡＤ
  　　矩形(ＡＤ、ＤＢ)；有理面積
  となるなら、
  　ＢＤ＝ＢＣ
  のことである。
• 命題１０ー８０は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-4補
  公準
  公理
  命題	1-3,10-27	2-7,10-26
  その他		コ2(題1-16),背理法

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