ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー４４（第２の双中項線分の分割は１通り）
　第２の双中項線分は
　　ただ一つの点で分けられる。

• 第２の双中項線分は、
  定義の補足(命題１０ー３８) による。
• 点は、
  定義１ー１による。

　ＡＢを
　　Ｃで分けられる第２の双中項線分とし，
したがって
　ＡＣ，ＣＢが
　　平方においてのみ通約でき，
　　中項面積をかこむ中項線分である
とせよ。

• 　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  による。
  
• 　ＡＣ、ＣＢ;中項線分
  をとり、
  　ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＢ、
  　rec(ＡＣ、ＣＢ)：中項面積
  　ＡＣ∩^^2 ＣＢ
  となっている。

そうすれば
　ＡＣ，ＣＢが
　　長さにおいて通約できない

• 　前節による。
• 　ＡＣ¬∩ＣＢ
  となっている。

から，
　Ｃは
　　二等分点にない
ことは明らかである。

• 　背理法により、
  もし
  　二等分点なら
  　ＡＣ＝ＣＢ
  となり、
  　長さにおいて通約できる
  から。
• 　Ｃ¬中点(ＡＢ)
  となっている。

　ＡＢが他の点で分けられない
と主張する。

もし可能ならば，
　Ｄでも分けられ，
　　ＡＣがＤＢと同じでなく，
　　ＡＣのほうが大きい
と仮定されるとせよ。
[......(１)]

• 　背理法の仮定である。
  　コメント(命題１０ー４２助)(点対称点の除外) による。
• 　ＡＢ；第２の双中項線分
  　点Ｄ(ＡＢ)
  　　ＡＤ、ＤＢ;中項線分
  　　ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢ、
  　　rec(ＡＤ、ＤＢ)：中項面積
  　　ＡＤ∩^^2 ＤＢ
  　　ＡＤ＜ＡＣ となっている。 　

そうすれば
　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和も
　　先に証明したように
　　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和より小さい

• 　前節、
  　命題１０ー４２助（不等分割線分上の正方形の和は大きい部分が大きい方が大）
  による。
• 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＜正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  となっている。

ことは明らかである。そして
　ＡＤ，ＤＢは
　　平方においてのみ通約でき，
　　中項面積をかこむ中項線分である
とせよ。

• 　（１）による。
• 　　ＡＤ、ＤＢ;中項線分
  　　ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢ、
  　　rec(ＡＤ、ＤＢ)：中項面積
  　　ＡＤ∩^^2 ＤＢ
  となっている。

そして
　有理線分ＥＦが定められ，
　　ＡＢ上の正方形に等しく
　　　ＥＦ上に直角平行四辺形ＥＫが
　　　つくられたとし，

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分) により、
  　ＥＦをとり、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
  
• 　ＥＦ；有理線分
  　矩形(ＥＫ)＝矩形(ＡＢ)
  となっている。

　　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和に等しい
　　　ＥＧがひかれた
　　　　　　[......(２)]

• 　　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　正方(_ＡＣ)、正方(_ＣＢ)を、
  　　繰り返してとる。
  
• 　矩形(ＥＧ)＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  となっている。

とせよ。そうすれば
　残りのＨＫは
　　矩形ＡＣ，ＣＢの２倍に等しい。
[......(３)]

• 　命題２ー４（２分線分上の正方形）　
  による。
  
• 　矩形(ＨＫ)＝２矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  となっている。

また
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和より小さい
　　ことが先に証明された
　　ＡＤ，ＤＢ上の正方形に等しいＥＬ
　　が［ＥＫから］ひかれた

• 　前半は、
  　（１）、
  　命題１０ー４２助（不等分割線分上の正方形の和は大きい部分が大きい方が大）
  による。
  　後半は、
  　　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　正方(_ＡＤ)、正方(_ＤＢ)を、
  　　繰り返してとる。
  
• 　矩形(ＥＬ)＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)
  　矩形(ＥＬ)＜矩形(ＥＧ)
  となっている。

とせよ。そうすれば
　残りのＭＫは
　　矩形ＡＤ，ＤＢの２倍に等しい。

• 　命題２ー４（２分線分上の正方形）　
  による。
  
• 　矩形(ＭＫ)＝２矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  となっている。

そして
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和は
　　中項面積である

• 　（１）、
  　命題１０ー２３の補足５(平方で通約の中項線分の平方和は中項面積)
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；中項面積
  となっている。

から，
　ＥＧも中項面積である。

• 　（２）による。
• 　矩形(ＥＧ)；中項面積
  となっている。

　そして
　有理線分ＥＦ上につくられている。

• 　（２）による。
• 　矩形(ＥＧ)＝矩形(ＥＦ,ＥＨ)
  となっている。

したがって
　ＥＨは
　　有理線分であり，
　　ＥＦと長さにおいて通約できない。
　　　　　　[......(４)]

• 　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積) による。
• 　ＥＨ；有理線分
  　ＥＨ¬∩ＥＦ
  となっている。

同じ理由で
　ＨＮも有理線分であり，
　　ＥＦと長さにおいて通約できない。
　　　　　　[......(５)]

• 　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積) による。
• 　ＨＮ；有理線分
  　ＨＮ¬∩ＥＦ
  となっている。

そして
　ＡＣ，ＣＢは
　　平方においてのみ通約できる中項線分である

• 　命題の設定による。
• 　ＡＣ∩^^2 ＣＢ 　ＡＣ、ＣＢ；中項線分
  となっている。

から，
　ＡＣは
　　ＣＢと長さにおいて通約できない。

• 　定義の補足（命題１０ー１９助）(平方においてのみ通約)
  による。
• 　ＡＣ¬∩ＣＢ
  となっている。

ところが
　ＡＣがＣＢに対するように，
　　ＡＣ上の正方形が矩形ＡＣ，ＣＢに対する。

• 　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
• 　ＡＣ：ＣＢ＝正方(_ＡＣ)：矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  となっている。

したがって
　ＡＣ上の正方形は
　　矩形ＡＣ，ＣＢと通約できない。

• 　前節、 命題の設定、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)¬∩矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  となっている。

ところが
　ＡＣ，ＣＢは
　　平方において通約できる

• 　命題の設定による。
• 　ＡＣ∩^^2ＣＢ
  となっている。

から，
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形は
　　ＡＣ上の正方形と通約できる。

• 　前節、
  　定義１０ー２（平方において通約）
  による。
  
• 　正方(_ＡＣ)、正方(_ＣＢ)；∩正方(_ＡＣ)
  となっている。

そして
　矩形ＡＣ，ＣＢの２倍は
　　矩形ＡＣ，ＣＢと通約できる。

• 　定義１０ー１（通約）
  による。
• 　２矩形(ＡＣ,ＣＢ)∩矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  となっている。

したがって
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形は
　　矩形ＡＣ，ＣＢの２倍と通約できない。

• 　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)、正方(_ＣＢ)；¬∩矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  となっている。

ところが
　ＥＨは
　　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和に等しく，
　ＨＫは
　　矩形ＡＣ，ＣＢの２倍に等しい。

• 　（２） （３）による。
• 　矩形(ＥＨ)＝正方(ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)、
  　矩形(ＨＫ)＝矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  となっている。

したがって
　ＥＧはＨＫと通約できない。

• 　前節、前々節による。
• 　矩形(ＥＧ¬∩矩形(ＨＫ))
  となっている。

したがって
　ＥＨも
　　ＨＮと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＥＨ¬∩ＨＮ
  となっている。

　　そして
　　有理線分である。

• 　（４）、 （５）による。
• 　ＥＨ、ＨＮ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＥＨ，ＨＮは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　前節、前々節による。
• 　ＥＨ∩^^2ＨＮ
  　ＥＨ、ＨＮ；有理線分
  となっている。

ところがもし
　平方においてのみ通約できる
　　二つの有理線分が加えられた
ならば，
　全体は
　　二項線分とよぱれる無理線分である。

• 　命題１０ー３６（平方でのみ通約の有理線分の和は無理線分(二項線分)）
  による。

したがって
　ＥＮは
　　Ｈで分けられた二項線分である。

• 　前節による。
• 　ＥＮ；二項線分、
  　Ｈ；分点.二項線分(ＥＮ)
  となっている。

同じ仕方で
　ＥＭ，ＭＮも
　　平方においてのみ通約できる
　　　有理線分であることが
証明されうる。

• 　ＥＮ；二項線分、
  　Ｍ；分点.二項線分(ＥＮ)
  となっている。

そして
　ＥＮは
　　異なった２点Ｈ，Ｍで分けられた
　　二項線分であろう。
　　　　　　[......(６)]

• 背理法の仮定として、
  　Ｈ、Ｍが同一の点である
  とすれば、
  　矩形(ＥＬ)＝矩形(ＥＧ)
  となり、
  　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)
  となり、
  一方、
  （１）、
  　命題１０ー４２助（不等分割線分上の正方形の和は大きい部分が大きい方が大）
  により、
  　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＞正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)
  となって矛盾するから。
  
• 　Ｈ、Ｍ；異なる分点.二項線分(ＥＮ)
  となっている。

そして
　ＥＨは
　　ＭＮと同じではない。

• 　命題１０ー４２（二項線分の分割は１通り）
  により、
  　二項線分の分割点は、
  　異なるとしても、
  　線分の中点における対称点という
  　　自明なものだけであり、
  　前節の結果により、
  　可能性として残されたその場合すらない
  という論証に進もうとしている。
  

なぜなら
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和は
　　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和より大きい。

• 　（１）による。
• 　ＭＮ＞ＨＮ
  となっている。

ところが
　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和は
　　矩形ＡＤ，ＤＢの２倍より大きい。

• 　命題２ー７（差の平方）
  により、
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)
  　　＝２矩形(ＡＤ,ＤＢ)＋正方(_ＤＢーＡＤ)
  となることによる。
  
• 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＞２矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  となっている。

したがってなおさら
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和，
　すなわち
　ＥＧは
　　矩形ＡＤ，ＤＢの２倍，
　　すなわち
　　ＭＫより大きい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー８の補足３（大きい・小さいものより大きい・小さい）
  による。
  
• 　矩形(ＥＧ)
  　　＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  　　　＞正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)
  　　　　＞２矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  　　　　　＝矩形(ＭＫ)
  となっている。

したがって
　ＥＨは
　　ＭＮより大きい。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＥＨ＞ＭＮ

よって
　ＥＨは
　　ＭＮと同じではない。
これが証明すべきことであった。

• 　（６）、
  　命題１０ー４２（二項線分の分割は１通り）
  により、
  　中項線分ＥＮの分割点は、
  　　自明な中点の対称点を除いて、
  　　１点に限る。
  しかし、
  　前節により、
  　Ｈ、Ｍが本質的に異なった分割点となり
  　矛盾が生じる。
  よって、
  　背理法により、
  　第２の双中項線分ＡＢの分割点は
  　　Ｃに限る
  ことがわかる。
  

• 命題１０ー４４は、
  　ＡＢ；第２の双中項線分
  　　点Ｃ(ＡＢ;ＡＣ、ＣＢ;中項線分)
  　　　ＡＣ∩^^2 ＣＢ、
  　　　矩形(ＡＣ,ＣＢ)；中項面積、
  をとると、
  　本質的に分割点はＣのみ
  のことである。
• 命題１０ー４４は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-1,10-2,補(題10-19助),補2(題10-23)
  公準
  公理		1-8補3
  命題	6-16補3,補2(義10-3),10-28	2-4,2-7,6-1,10-11,10-13,10-22助,10-23補5,10-36,10-42助,10-42
  その他		コ10-42助,背理法

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