ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー４２助（不等分割線分上の正方形の和は大きい部分が大きい方が大）
{点対称点の除外}
　これらの無理線分が，
　　それぞれその構成部分であり，
　上述の諸種類をつくり出す，２線分に
　　ただ一つの仕方で分けられる
ことを次の補助定理を仮定して証明しうる。

• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 　この補助命題は、
  　　命題１０ー４２〜４７の前提とされる。
  　命題１０ー３６〜４１
  により、
  　存在が証明された緒線分の分割点について、
  　その中点について点対称となる点でも
  　　同様の分割となるのは自明なことで、
  　　本質的には異ならない。
  そこで、
  　自明な点以外にはないことを
  　　以下の命題１０ー４２〜４７で
  　　証明しようとしている。
  なお、各命題を証明する際、
  「分割点と、
  　背理法の仮定として存在を仮定する、
  　　分割点以外の点とについて、
  　中点に近い方の点をＤ、遠い方をＣ、
  　Ｄに近い端点をＡ、もう一方の端点をＢ」
  として
  　論証を進めている。
  原論は、これを、
  　「ＡＣがＤＢより大きいと仮定される」
  と表現し、
  原論に省略されていると判断される場合には、
  　コメントに「ＡＣ＞ＢＤ」
  と記載している。
  　原論の書き振りから判断すると、
  　この補助命題は、
  　　後世のコメントが混入したもの
  　　と思われる。
  　なお、
  　この補助命題を前提とせずに、
  　　命題１０ー４２以降を補強しようとして、
  　　かえって混乱をもたらした記述が
  　　　いくつか散見される。
  　これらの記述も、
  　　後世の質の悪いコメントの混入であろう。
  (以下、コメント(命題１０ー４２助) (点対称点の除外)という。)
  

　線分ＡＢが定められ，
　全体がＣ，Ｄの双方において
　　不等な部分に分けられ，
　ＡＣがＤＢより大きい
と仮定されるとせよ。
　ＡＣ，ＣＢの正方形の和は
　　ＡＤ，ＤＢの正方形の和より大きい
と主張する。

• 　命題１ー２（作図・線分）
  により、
  　線分ＡＢをとり、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  により、
  　中点Ｅをとり、
  　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  により、
  　点Ｃ.線分ＥＢ
  　点Ｄ'.線分ＥＣ
  をとり、
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により、
  　点Ｄ(ＡＥ;ＢＤ＝ＡＤ')
  をとる。
  
• 　線分ＡＣ＞線分ＢＤ
  となっている。

　ＡＢが
　　Ｅにおいて２等分された
とせよ。
[......(１)]

• 　前節でＥ
  をとっている。
• 　Ｅ；中点（ＡＢ）
  となっている。

そうすれば
　ＡＣは
　　ＤＢより大きい

• 　命題の設定による。
• 　ＡＣ＞ＤＢ
  となっている。

から，
　双方からＤＣがひかれた
とせよ。
そうすれば
　残りのＡＤは
　　残りのＣＢより大きい。

• 　前節、
  　公理１ー４の補足２（不等なものから等しいものをひく）
  による。
• 　ＡＤ＞ＣＢ
  となっている。

ところが
　ＡＥは
　　ＥＢに等しい。

• 　（１）による。
• 　ＡＥ＝ＥＢ
  となっている。

したがって
　ＤＥは
　　ＥＣより小さい。
[......(２)]

• 　前節、前々節、
  　公理１ー４の補足２（不等なものから等しいものをひく）
  による。
• 　ＤＥ＜ＥＣ
  となっている。

ゆえに
　点Ｃ，Ｄは
　　２等分点から等距離にない。
そして
　矩形ＡＣ，ＣＢとＥＣ上の正方形の和は
　　ＥＢ上の正方形に等しく，
　他方
　矩形ＡＤ，ＤＢとＤＥ上の正方形の和は
　　ＥＢ上の正方形に等しい

• 　命題２ー５（線分の矩形分割） による。
• 　矩形(ＡＣ,ＣＢ)＋正方(_ＥＣ)＝正方(_ＥＢ)、
  　矩形(ＡＤ,ＤＢ)＋正方(_ＤＥ)＝正方(_ＥＢ)
  となっている。

から，
　矩形ＡＣ，ＣＢとＥＣ上の正方形の和は
　　矩形ＡＤ，ＤＢとＤＥ上の正方形の和に等しい。

• 　前節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　矩形(ＡＣ,ＣＢ)＋正方(_ＥＣ)
  　　＝矩形(ＡＤ,ＤＢ)＋正方(_ＤＥ)
  となっている。

そのうち
　ＤＥ上の正方形は
　　ＥＣ上の正方形より小さい。

• 　（２）、
  　公理１ー８（大きい）
  による。
• 　正方(_ＤＥ)＜正方(_ＥＣ)
  となっている。

したがって
　残りの矩形ＡＣ，ＣＢは
　　矩形ＡＤ，ＤＢより小さい。

• 　公理１ー４の補足４（和が等しく一方が大きい）
  による。
• 　矩形(ＡＣ,ＣＢ)＜矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  となっている。

したがって
　矩形ＡＣ，ＣＢの２倍も
　　矩形ＡＤ，ＤＢの２倍より小さい。

• 　前節、
  　公理１ー８の補足４（大きい・小さいもののｎ倍・ｎ等分）
  による。
• 　２矩形(ＡＣ,ＣＢ)＜２矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  となっている。

ゆえに
　残りのＡＣ，ＣＢ上の正方形の和も
　　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和より大きい。

• 　命題２ー４（２分線分上の正方形）　
  により、
  　正方(_ＡＢ)＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  　　　　　　　　＋２矩形(ＡＣ,ＣＢ)、
  　正方(_ＡＢ)＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)
  　　　　　　　　＋２矩形(ＡＤ,ＤＢ)、
  となり、
  　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＋２矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  　　＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＋２矩形(ＡＤ,ＤＢ)、
  となり、
  　　公理１ー４の補足４（和が等しく一方が大きい）
  による
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  　　＞正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)
  　

これが証明すベきことであった。

• 命題１０ー４２助は、
  　線分ＡＢ、
  　中点Ｅ、
  　点Ｃ.線分ＥＢ
  　点Ｄ(ＡＥ;ＢＤ＜ＡＣ)
  をとると、
  　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  　　＞正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)
  のことである。
• 命題１０ー４２助は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義
  公準	1-1補
  公理		1-1,1-4補2,1-4補4,1-8,1-8補4
  命題	1-2,1-3補,1-10	2-4,2-5
  その他

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