ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー４３（第１の双中項線分の分割は１通り）
　第１の双中項線分は
　　ただーつの点で分けられる。

• 第１の双中項線分は、
  定義の補足(命題１０ー３７)による。
• 点は、
  定義１ー１による。

　ＡＢを
　　Ｃで分けられる第１の双中項線分
とし，
したがって
　ＡＣ，ＣＢが
　　平方においてのみ通約でき，
　　有理面積をかこむ中項線分である
とせよ。

• 　　命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）
  による。
  
• 　中項線分ＡＣ,ＣＢ；
  　　,ＡＣ∩^^2 ＣＢ
  　　,矩形(ＡＣ,ＣＢ)；有理面積）
  をとっている。
  

　ＡＢは
　　他の点で分けられない
と主張する。

もし可能なら
　Ｄでも分けられる
とし，
　ＡＤ，ＤＢが
　　平方においてのみ通約でき，
　　有理面積をかこむ双中項線分である
とせよ。

• 　背理法の仮定である。
  　コメント(命題１０ー４２助)(点対称点の除外) による。
• 　中項線分ＡＤ,ＤＢ；
  　　,ＡＤ∩^^2 ＤＢ
  　　,矩形(ＡＤ,ＤＢ)；有理面積）、
  　ＡＣ＞ＤＢ
  となっている。

そうすれば
　矩形ＡＤ，ＤＢの２倍と
　矩形ＡＣ，ＣＢの２倍との差は
　　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和と
　　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和との差に等しく，　　　　　　[......(１)]

• 　命題１０ー４２（二項線分の分割は１通り）（１）
  と同様である。
• 　２矩形(ＡＤ,ＤＢ)ー２矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  　　＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  　　　ー{正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)}
  となっている。

　他方矩形ＡＤ，ＤＢの２倍
　と矩形ＡＣ，ＣＢｌの２倍とは
　　共に有理面積である

• 　命題の設定、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　２矩形(ＡＤ,ＤＢ)、２矩形(ＡＣ,ＣＢ)；有理面積
  となっている。

から，
　その差も有理面積である。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による
• 　２矩形(ＡＤ,ＤＢ)ー２矩形(ＡＣ,ＣＢ)；有理面積
  となっている。　

したがって
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和と
　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和とは
　　共に中項面積である

• 　命題の設定による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；中項面積、
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)；中項面積
  となっている。 　

のに、
　その差が有理面積である。

• 　（１） （２）による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  　　ー正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)；有理面積
  となっている。

これは不合理である。
よって
　第１の双中項線分は
　　異なった２点でその項に分けられない。

• 　背理法による。

したがって
　ただ一つの点で分けられる。
これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー４３は、
  　ＡＢ；第１の双中項線分
  　　点Ｃ(ＡＢ;ＡＣ、ＣＢ;中項線分)
  　　　ＡＣ∩^^2 ＣＢ、
  　　　矩形(ＡＣ,ＣＢ)；有理面積、
  をとると、
  　本質的に分割点はＣのみ
  のことである。
• 命題１０ー４３は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-4補
  公準
  公理
  命題	10-27,10-42
  その他		コ(題10-42助)

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