ユークリッド原論をどう読むか（１０）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第６巻

命題６ー６（２辺が比例し挟角が等しい三角形は等角）
（作図.２辺が比例し挟角が等しい三角形）
もし
　２つの三角形が
　１つの角が互いに等しく、
　等しい角をはさむ辺が比例するならば、
　２つの三角形は
　等角であり、
　対応する辺に対する角は
　等しいであろう。

• 三角形は、定義１ー１９の補足２ による。
• 角は、定義１ー８ による。
• 等しいは、公理１ー７ による。
• 辺は、定義１ー１９の補足 による。
• 比例は、定義５ー６ による。
• 等角は、定義の補足（命題４ー２） による。

ＡＢＣ、ＤＥＦを
　１つの角ＢＡＣがＥＤＦに等しく、
　等しい角をはさむ辺が比例する、
　すなわちＢＡがＡＣに対するように、
　ＥＤがＤＦに対する
　　２つの三角形とせよ。

• ２辺が比例し挟角が等しい三角形の作図は
  下のようになる。
  （以下、命題６ー６の補足 （作図.２辺が比例し挟角が等しい三角形）という。）
  命題６ー２の補足（作図.比例第４項）
  により
  　三角形ＡＢＣと線分ＥＤについて、
  　ＢＡがＡＣに対するように
  　ＥＤがＤ'Ｆ'に対することとなる
  　Ｄ'Ｆ'を作図することができる。
  命題１ー２３（作図・直線上に指定された角）
  により
  　角ＥＤＦを
  　角ＢＡＣに等しくなるように描き、
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により
  　ＤＦ上にＦ"を
  　ＤＦ"がＤ'Ｆ'に等しくなるようにとる。
  改めてＦ"をＦとする。
  公準１ー１（作図.直線）
  により、
  　ＥとＦを結ぶ。
  以上により、
  　三角形ＡＢＣについて
  　角ＢＡＣとＥＤＦが等しく、
  　ＢＡがＡＣに対するように
  　ＥＤがＤＦに対する
  　三角形ＤＥＦが作図された。
  
• 　△ＡＢＣ、ＤＥ
  に対して
  　点Ｆ(半直線ＥＦ(;;∠ＥＤＦ＝∠ＢＡＣ);;
  　　ＢＡ：ＡＣ＝ＥＤ：ＤＦ)、
  　線分ＤＦ
  をとっている。

三角形ＡＢＣは
　三角形ＤＥＦに等角であり、
　角ＡＢＣは角ＤＥＦに、
　角ＡＣＢは角ＤＦＥに等しいであろう
　と主張する。
　
線分 ＤＦ上に
　その上の点Ｄ、Ｆにおいて、
　角ＢＡＣ、ＥＤＦのどちらかに等しく
　 角ＦＤＧが、
　角ＡＣＢに等しく角ＤＦＧが
　つくられたとせよ。 【・・・(a)】

• 「どちらかに」は、
  　コメント（命題２ー２）参照のこと。
• 線分ＤＦについて、
  　Ｅと反対側になるように
  　命題１ー２３（作図・直線上に指定された角）
  により、
  　角ＢＡＣに等しく角ＦＤＧを、
  　角ＡＣＢに等しく角ＤＦＧ'をつくる。
  角ＢＡＣ、ＡＣＢは、
  　三角形ＡＢＣの２角だから
  　命題１ー１７（三角形の２角の和）
  により
  　その和は２直角より小さい。
  公準１ー５（平行線公準）
  により
  　ＤＧとＦＧ'は
  　線分ＤＦについて、
  　Ｅと反対側で交わる。
  その点を改めてＧとし、
  　溯ってＧを用いている。
• 　点Ｇ(反対側(ＤＦ,Ｅ);;
  　　∠ＢＡＣ＝∠ＦＤＧ,
  　　∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＧ)
  をとっている。

<残りのＢにおける角は
　残りのＧにおける角に等しい。

• 命題６ー５の補足（２組の角が等しい三角形は他の角も等しい）
  による。
• 　∠Ｂ＝∠Ｇ
  となっている。

それゆえ
　三角形ＡＢＣは
　三角形ＤＦＧに等角である。

• (a) ,定義の補足（命題４ー２）(等角)
  による。
• 　△ＡＢＣ;(等角)△ＤＦＧ
  となっている。

ゆえに
　比例し、
　 ＢＡがＡＣに対するように
　ＧＤがＤＦに対する。 【・・・(1)】

• 命題６ー４（等角三角形の等角辺の比例）
  による。
• 　ＢＡ：ＡＣ＝ＧＤ：ＤＦ
  となっている。

ところが
　ＢＡがＡＣに対するように
　ＥＤがＤＦに対すると仮定されている。

• 命題の設定 による。
• 　ＢＡ：ＡＣ＝ＥＤ：ＤＦ
  となっている。

したがって
　ＥＤがＤＦに対するように、
　ＧＤがＤＦに対する。

• 命題の設定 ,命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＥＤ：ＤＦ＝ＧＤ：ＤＦ
  となっている。

それゆえ
　ＥＤはＤＧに等しい。

• 命題５ー９（同一比の量）
  による。
• 　ＥＤ＝ＤＧ
  となっている。

そして
　ＤＦは共通である。
ゆえに
　２辺ＥＤ、ＤＦは
　２辺ＧＤ、ＤＦに等しい。
そして
　角ＥＤＦはＧＤＦに等しい。

• (a)による。
• 　(ＥＤ、ＤＦ)＝(ＧＤ、ＤＦ)、
  　∠ＥＤＦ＝∠ＧＤＦ
  となっている。

したがって
　底辺ＥＦは底辺ＧＦに等しく、
　三角形ＤＥＦは三角形ＧＤＦに等しく、
　そして
　残りの角は残りの角に等しい。
すなわち
　等しい辺が対する角は等しいであろう。

• 命題１ー４（２辺挟角相等）
  による。
• 　ＥＦ＝ＧＦ、
  　△ＤＥＦ≡△ＧＤＦ
  となっている。

それゆえ
　角ＤＦＧは角ＤＦＥに、
　角ＤＧＦは角ＤＥＦに等しい。

• 　∠ＤＦＧ＝∠ＤＦＥ、
  　∠ＤＧＦ＝∠ＤＥＦ
  となっている。

ところが
　角ＤＦＧは角ＡＣＢに等しい。

• (a) による。
• 　∠ＤＦＧ＝ＡＣＢ
  となっている。

ゆえに
　角ＡＣＢは角ＤＦＥに等しい。

• 公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ
  となっている。

ところが
　角ＢＡＣが角ＥＤＦに等しい
　ことも仮定されている。

• 命題の設定による。
• 　∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ
  となっている。

したがって
　残りのＢにおける角も
　残りのＥにおける角に等しい。

• 命題６ー５の補足（２組の角が等しい三角形は他の角も等しい）
  による。
• 　∠Ｂ＝∠Ｅ
  となっている。

それゆえ
　三角形ＡＢＣは
　三角形ＤＥＦに等角である。

• 定義の補足（命題４ー２）(等角)
  による。
• 　△ＡＢＣ;(等角)△ＤＥＦ
  となっている。

よってもし
　２つの三角形が
　１つの角が互いに等しく、
　等しい角をはさむ辺が比例する
　ならば、
　２つの三角形は等角であり、
　対応する辺に対する角は等しいであろう。
これが証明すべきことであった。

• 命題６ー６は、
  　△ＡＢＣ、△ＤＥＦ
  において
  　∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ、
  　ＢＡ：ＡＣ＝ＥＤ：ＤＦ
  ならば、
  　△ＡＢＣ;(等角)△ＤＥＦ
  のことである。
• 命題６ー６の補足 （作図.２辺が比例し挟角が等しい三角形）

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-1
  公理
  命題	1-3補,1-23,6-2補
  その他

• 命題６ー６は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		補(題4-2)
  公準	1-1,1-5
  公理		1-1
  命題	1-3補,1-23,6-2	1-4,1-17,5-9,5-11,6-4,6-5補
  その他		コ(題2-2)

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭