ユークリッド原論をどう読むか（１０）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第６巻

命題６ー４（等角三角形の等角辺の比例）
(等角三角形の対応辺の比例)
互いに角を等しくする
　２つの三角形の
　等しい角をはさむ辺は
　比例し、
　しかも
　等しい角に対する辺が
　それぞれ対応する。

• 角は、定義１ー８ による。
• 等しいは、公理１ー７ による。
• 三角形は、定義１ー１９の補足２ による。
• 辺は、定義１ー１９の補足 による。
• 比例は、定義５ー６ による。

ＡＢＣ、ＤＣＥを
　角ＡＢＣがＤＣＥに、
　角ＢＡＣが角ＣＤＥに、
　また
　角ＡＣＢが角ＣＥＤに等しい
　２つの三角形とせよ。 【・・・(a)】

• 　△ＡＢＣ、Ｃ'Ｅ
  に対して、
  　命題１ー１７（三角形の２角の和）
  により、
  　∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＜２∠Ｒ
  となり、
  　命題１ー２３（作図・直線上に指定された角）、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
  　公準１ー５（平行線公準）
  により、
  　交点Ｄ(半直線Ｃ'Ｄ'(Ｃ'Ｅ,∠ＡＢＣ),半直線(ＥＣ',∠ＡＣＢ;;同側(Ｃ'Ｅ,Ｄ'))
  をとっている。
  　命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  により、
  　∠Ｃ'ＤＥ＝∠ＢＡＣ
  となっている。　
• 　△ＡＢＣ、Ｃ'Ｅ
  に対して、
  　Ｄ(;;∠ＤＣ'Ｅ＝∠ＡＢＣ,∠ＤＥＣ'＝∠ＡＣＢ)、
  をとっている。
  　∠Ｃ'ＤＥ＝∠ＢＡＣ
  となっている。　

三角形ＡＢＣ、ＤＣＥの
　等しい角をはさむ辺は
　比例し、
　しかも
　等しい角に対する辺が
　それぞれ対応する
　と主張する。

ＢＣが
　ＣＥと一直線をなす
　ようにせよ。

• 等角な三角形
  　ＡＢＣとＤＣ’Ｅとがあって、
  　ＣとＣ’が一致し、
  　直線ＢＣＥについて、
  　Ａ、Ｄが同じ側になるように、
  　必要があれば裏返して移動する。
  ここで、
  　Ｃ’をＣと改め、
  　溯って用いている。
• 　Ｅ;上.延長ＢＣ、
  　Ｄ;同側(ＢＥ,Ａ)
  となっている。

そうすれば
　角ＡＢＣ、ＡＣＢの和は
　２直角より小さく、

• 命題１ー１７（三角形の２角の和）
  による。
• 　∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＜２∠Ｒ
  となっている。

　角ＡＣＢは
　角ＤＥＣに等しいから、

• (a) による。
• 　∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＣ
  となっている。

　角ＡＢＣ、ＤＥＣの和は
　２直角より小さい。

• 公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  による。
• 　∠ＡＢＣ＋∠ＤＥＣ＜２∠Ｒ
  となっている。

それゆえ
　ＢＡ、ＥＤは
　延長されれば交わるであろう。

• 公準１ー５ （平行線公準）
  による。

延長されて
　Ｆにおいて交わるとせよ。

• 公準１ー２ （作図.直線の延長）
  による。
• 　交点Ｆ(ＢＡ,ＥＤ)
  となっている。

そうすれば
　角ＤＣＥは
　角ＡＢＣに等しいから、

• (a) による。
• 　∠ＤＣＥ＝∠ＡＢＣ
  となっている。

　ＢＦは
　ＣＤに平行である。 【・・・(1)】

• 命題１ー２８（内対角、同側内角と平行）
  による。
• 　ＢＦ‖ＣＤ
  となっている。

また
　角ＡＣＢは
　角ＤＥＣに等しいから、

• (a) による。
• 　∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＣ
  となっている。

　ＡＣは
　ＦＥに平行である。 【・・・(2)】

• 命題１ー２８ （内対角、同側内角と平行）
  による。
• 　ＡＣ‖ＦＥ
  となっている。

それゆえ
　ＦＡＣＤは
　平行四辺形である。

• (1) ,定義の補足（命題１ー３４） (平行四辺形・対角線)
  による。
• 　ＦＡＣＤ;平行四辺形
  となっている。

ゆえに
　ＦＡはＤＣに、
　ＡＣはＦＤに等しい。 【・・・(3)】

• 命題１ー３４ （平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　ＦＡ＝ＤＣ、
  　ＡＣ＝ＦＤ
  となっている。

そして
　ＡＣは
　三角形ＦＢＥの１辺に
　平行《にひかれた》［である］から、

• (2) による。
• 　ＡＣ‖辺ＦＥ.△ＦＢＥ
  となっている。

　ＢＡがＡＦに対するように、
　ＢＣがＣＥに対する。

• 命題６ー２ （三角形の辺の平行線による辺の比例区分）
  による。
• 　ＢＡ：ＡＦ＝ＢＣ：ＣＥ
  となっている。

ところが
　ＡＦは
　ＣＤに等しい。

• (3) による。
• 　ＡＦ＝ＣＤ
  となっている。

したがって
　ＢＡがＣＤに対するように、
　ＢＣがＣＥに対し、

• 命題５ー７ （同一量の比）、
  命題５ー１１ （同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＢＡ：ＣＤ＝ＢＣ：ＣＥ
  となっている。

　いれかえて
　ＡＢがＢＣに対するように、
　ＤＣがＣＥに対する。 【・・・(4)】

• 命題５ー１６ （比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝ＤＣ：ＣＥ
  となっている。

また
　ＣＤがＢＦに平行であるから、

• (1) による。
• 　ＣＤ‖ＢＦ
  となっている。

　ＢＣがＣＥに対するように、
　ＦＤがＤＥに対する。

• 命題６ー２ （三角形の辺の平行線による辺の比例区分）、
  命題５ー７の系 (比例すれば逆も比例)
  による。
• 　ＢＣ：ＣＥ＝ＦＤ：ＤＥ
  となっている。

ところが
　ＦＤは
　ＡＣに等しい。

• (3) による。
• 　ＦＤ＝ＡＣ
  となっている。

それゆえ
　ＢＣがＣＥに対するように
　ＡＣがＤＥに対し、

• 命題５ー７ （同一量の比）、
  命題５ー１１ （同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＢＣ：ＣＥ＝ＡＣ：ＤＥ
  となっている。

いれかえて
　ＢＣがＣＡに対するように、
　ＣＥがＥＤに対する。

• 命題５ー１６ （比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　ＢＣ：ＣＡ＝ＣＥ：ＥＤ
  となっている。

そこで
　ＡＢがＢＣに対するように、
　ＤＣがＣＥに対し、
　ＢＣがＣＡに対するように、
　ＣＥがＥＤに対することが証明されたから、

• (4) による。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝ＤＣ：ＣＥ、
  　ＢＣ：ＣＡ＝ＣＥ：ＥＤ
  となっている。

　等間隔比により
　ＢＡがＡＣに対するように
　ＣＤがＤＥに対する。

• 命題５ー２０ （等間隔項の大等小）
  による。
• 　ＢＡ：ＡＣ＝ＣＤ：ＤＥ
  となっている。

よって
　互いに角を等しくする
　２つの三角形の
　等しい角をはさむ辺は
　比例し、
　しかも
　等しい角に対する辺がそれぞれ対応する。
これが証明すべきことであった。

• 　本命題、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  により、
  　△ＡＢＣ(等角)△ＤＥＦ
  ならば、
  　ＡＢ：ＤＥ＝ＢＣ：ＥＦ
  　＝ＣＡ：ＦＤ
  となる。
  (以下、命題６ー４の補足(等角三角形の対応辺の比例)という。)
  
• 命題６ー４は、
  　△ＡＢＣ
  に対して、
  　△ＤＥＦ[;;∠Ａ＝∠Ｄ,∠Ｂ＝∠Ｅ,∠Ｃ＝∠Ｆ]
  をとれば、
  　ＣＡ：ＡＢ＝ＦＤ：ＤＥ、
  　ＡＢ：ＢＣ＝ＤＥ：ＥＦ、
  　ＢＣ：ＣＡ＝ＥＦ：ＦＤ
  のことである。
• 命題６ー４の補足(等角三角形の対応辺の比例)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		5-11,5-16,6-4
  その他

• 命題６ー４は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		補(題1-34)
  公準	1-2,1-5
  公理		1-2,1-3,1-8補2
  命題	1-23	1-17,1-28,1-32,1-34,5-7,5-7系,5-11,5-16,5-20,6-2
  その他

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭