ユークリッド原論をどう読むか(10)
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ユークリッド原論

第6巻

命題6ー5(辺が比例する三角形は等角)
(2組の角が等しい三角形は他の角も等しい)

作図.辺が比例する三角形)

もし
 2つの三角形比例するならば、
 2つの三角形は互いに等角であり、
 対応するに対する等しい
 であろう。



ABC、DEFが
 比例する2つの三角形であり、
 ABがBCに対するように
 DEがEFに対し
 BCがCAに対するように
 EFがFDに対し
 また
 BAがACに対するように
 EDがDFに対するとせよ。
 
三角形ABCは
 三角形DEFに等角であり、
 対応するに対する
 すなわちABCはDEFに、
 BCAはEFDに、
 また
 BACはEDFに等しい
 と主張する。

線分EF上に
 その上のE、Fにおいて
 ABCに等しいFEGが、
 ACBに等しいEFGが
 つくられたとせよ。 【・・・(a)】

そうすれば
 残りのAにおける
 残りのGにおける等しい

三角形ABCは
 EGFに等角である。

ゆえに
 三角形ABC、EGFの等しいをはさむ
 比例し、
 等しいに対する
 それぞれ対応する。

したがって
 ABがBCに対するように
 GEはEFに対する
ところが
 ABがBCに対するように
 DEがEFに対する
 ことが仮定されている。

それゆえ
 DEがEFに対するように
 GEがEFに対する

ゆえに
 DE、GEの双方は
 EFに対し同じ比をもつ。
したがって
  DEはGEに等しい【・・・(1)】

同じ理由で
  DFもGFに等しい【・・・(2)】

そこで
 DEはEGに等しく

 EFは共通であるから、
 2DE、EFは
 2GE、EFに等しい
そして
 底辺DFは底辺FGに等しい

それゆえ
 DEFはGEFに等しく
 三角形DEFは三角形GEFに等しく
 残りのは残りの等しい

すなわち
 等しいが対する等しい
ゆえに
 DFEはGFEに、
 EDFはEGFに等しい

そして
 FEDはGEFに、
他方
 GEFはABCに等しいから、

 ABCもDEFに等しい

同じ理由で
 ACBもDFEに、
 また
 AにおけるもDにおける等しい

したがって
 三角形ABCは三角形DEFに等角である。

よって
 2つの三角形比例するならば、
 2つの三角形は互いに等角であり、
 対応するに対する等しいであろう。
 
これが証明すべきことであった。       目次   頁頭