ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー５（辺が比例する三角形は等角）
（２組の角が等しい三角形は他の角も等しい）
（作図.辺が比例する三角形）

もし
　２つの三角形の辺が比例するならば、
　２つの三角形は互いに等角であり、
　対応する辺に対する角は等しい
　であろう。

• 三角形は、定義１ー１９の補足２ による。
• 辺は、定義１ー１９の補足 による。
• 比例は、定義５ー６ による。
• 等角は、定義の補足（命題４ー２） による。
• 角は、定義１ー８ による。
• 等しいは、公理１ー７ による。

ＡＢＣ、ＤＥＦが
　辺が比例する２つの三角形であり、
　ＡＢがＢＣに対するように、
　ＤＥがＥＦに対し、
　ＢＣがＣＡに対するように、
　ＥＦがＦＤに対し、
　また
　ＢＡがＡＣに対するように、
　ＥＤがＤＦに対するとせよ。
　

• 辺が比例する三角形の作図は
  下のようになる。
  （以下、命題６ー５の補足２ (作図.辺が比例する三角形) という。）
  命題６ー２の補足（作図.比例第４項）
  により、
  　三角形ＡＢＣの各辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡと、
  　線分ＤＥについて、
  　ＡＢがＢＣに対するように、
  　ＤＥがＥＦに対し、
  　ＢＣがＣＡに対するように、
  　ＥＦがＦＤ'に対することとなる
  　ＥＦ、ＦＤ'を作図することができる。
  命題５ー１８（比例ならば合比も比例）
  により
  　ＡＢとＢＣの和がＢＣに対するように、
  　ＤＥとＥＦの和がＥＦに対する。
  命題５ー２２（等間隔比と同じ比）
  により、
  　ＢＣがＣＡに対するように
  　ＥＦがＦＤ'に対するので、
  　ＡＢとＢＣの和がＣＡに対するように、
  　ＤＥとＥＦの和がＦＤ'に対する。
  命題１ー２０（三角形の２辺の和と１辺）
  により
  　ＡＢとＢＣの和がＣＡより大きいので、
  定義５ー５（同じ比）
  により
  　ＤＥとＥＦの和はＦＤ'より大きい。
  同様にして
  　ＥＦとＦＤ'の和はＤＥより大きく、
  　ＦＤ'とＤＥの和はＥＦより大きい。
  命題１ー２２（作図・３線分から三角形）
  により、
  　ＤＥ、ＥＦ、ＦＤ'を３辺とし、
  　Ｄ'がＤに重なる
  　三角形ＤＥＦを作図することができる。
  
• 　△ＡＢＣ、ＤＥ
  に対して、
  　Ｆ(同向側(ＤＥ,ＡＢ,Ｃ);;
  　　ＡＢ：ＢＣ＝ＤＥ：ＥＦ,
  　　ＢＣ：ＣＡ＝ＥＦ：ＦＤ)
  をとっている。
  　ＣＡ：ＡＢ＝ＦＤ：ＤＥ
  となっている。
  

三角形ＡＢＣは
　三角形ＤＥＦに等角であり、
　対応する辺に対する角、
　すなわち角ＡＢＣは角ＤＥＦに、
　角ＢＣＡは角ＥＦＤに、
　また
　角ＢＡＣは角ＥＤＦに等しい
　と主張する。

線分ＥＦ上に
　その上の点Ｅ、Ｆにおいて
　角ＡＢＣに等しい角ＦＥＧが、
　角ＡＣＢに等しい角ＥＦＧが
　つくられたとせよ。 【・・・(a)】

• 命題１ー２３（作図・直線上に指定された角）
  により、
  　線分ＥＦについて、
  　Ｄと反対側に、
  　Ｅにおいて、
  　角ＡＢＣに等しくＦＥＧを、
  　Ｆにおいて、
  　角ＡＣＢに等しくＥＦＧ’を
  　つくる。
  角ＡＢＣ、ＡＣＢは
  　三角形ＡＢＣの２つの角だから、
  　命題１ー１７（三角形の２角の和）
  により、
  　その和は２直角より小さい。
  公準１ー５（平行線公準）
  により、
  　ＥＧとＥＧ’は
  　線分ＥＦについて、
  　Ｄと反対側で交わる。
  その交点を改めてＧとし、
  　溯って用いている。
  
• 　交点Ｇ(半直線ＥＧ(反対側(ＥＦ,Ｄ);∠ＦＥＧ＝∠ＡＢＣ),
  　　　　半直線ＦＧ(反対側(ＥＦ,Ｄ);∠ＥＦＧ＝∠ＡＣＢ))
  をとっている。

そうすれば
　残りのＡにおける角は
　残りのＧにおける角に等しい。

• 命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）、
  公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
  一般的に、
  　２つの三角形において、
  　２組の角がそれぞれ等しければ、
  　第３組の角も等しい。
  （以下、命題６ー５の補足（２組の角が等しい三角形は他の角も等しい）という。）
• 　∠ＣＢＡ＝∠ＦＧＥ
  となっている。

三角形ＡＢＣは
　ＥＧＦに等角である。

• (a),定義の補足（命題４ー２）(等角)
  による。
• 　△ＡＢＣ;(等角)△ＧＥＦ
  となっている。

ゆえに
　三角形ＡＢＣ、ＥＧＦの等しい角をはさむ辺は
　比例し、
　等しい角に対する辺が
　それぞれ対応する。

• 命題６ー４（等角三角形の等角辺の比例）
  による。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝ＧＥ：ＥＦ、
  　ＢＣ：ＣＡ＝ＥＦ：ＦＧ、
  　ＣＡ：ＡＢ＝ＦＧ：ＧＥ
  となっている。

したがって
　ＡＢがＢＣに対するように、
　ＧＥはＥＦに対する。
ところが
　ＡＢがＢＣに対するように
　ＤＥがＥＦに対する
　ことが仮定されている。

• 命題の設定による。

それゆえ
　ＤＥがＥＦに対するように、
　ＧＥがＥＦに対する。

• 命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＤＥ：ＥＦ＝ＧＥ：ＥＦ
  となっている。

ゆえに
　ＤＥ、ＧＥの双方は
　ＥＦに対し同じ比をもつ。
したがって
　 ＤＥはＧＥに等しい。 【・・・(1)】

• 命題５ー９（同一比の量）
  による。
• 　ＤＥ＝ＧＥ
  となっている。

同じ理由で
　 ＤＦもＧＦに等しい。 【・・・(2)】

• 　ＤＦ＝ＧＦ
  となっている。

そこで
　ＤＥはＥＧに等しく、

• (1)による。
• 　ＤＥ＝ＥＧ
  となっている。

　ＥＦは共通であるから、
　２辺ＤＥ、ＥＦは
　２辺ＧＥ、ＥＦに等しい。
そして
　底辺ＤＦは底辺ＦＧに等しい。

• (2)による。
• 　(ＤＥ、ＥＦ)＝(ＧＥ、ＥＦ)、
  　ＤＦ＝ＦＧ
  となっている。

それゆえ
　角ＤＥＦは角ＧＥＦに等しく、
　三角形ＤＥＦは三角形ＧＥＦに等しく、
　残りの角は残りの角に等しい。

• 命題１ー８（３辺相等２）
  による。
• 　∠ＤＥＦ＝∠ＧＥＦ、
  　△ＤＥＦ≡△ＧＥＦ
  となっている。

すなわち
　等しい辺が対する角は等しい。
ゆえに
　角ＤＦＥは角ＧＦＥに、
　角ＥＤＦは角ＥＧＦに等しい。

• 　∠ＤＦＥ＝∠ＧＦＥ、
  　∠ＥＤＦ＝∠ＥＧＦ
  となっている。

そして
　角ＦＥＤは角ＧＥＦに、
他方
　角ＧＥＦは角ＡＢＣに等しいから、

• (a)による。
• 　∠ＦＥＤ＝∠ＧＥＦ、
  　∠ＧＥＦ＝∠ＡＢＣ
  となっている。

　角ＡＢＣも角ＤＥＦに等しい。

• 公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ
  となっている。

同じ理由で
　角ＡＣＢも角ＤＦＥに、
　また
　Ａにおける角もＤにおける角に等しい。

• 　∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ、
  　∠Ａ＝∠Ｄ
  となっている。

したがって
　三角形ＡＢＣは三角形ＤＥＦに等角である。

• 定義の補足（命題４ー２）(等角)
  による。
• 　△ＡＢＣ;(等角)△ＤＥＦ
  となっている。

よって
　２つの三角形の辺が比例するならば、
　２つの三角形は互いに等角であり、
　対応する辺に対する角は等しいであろう。
　
これが証明すべきことであった。

• 命題６ー５は、
  　△ＡＢＣ
  に対して、
  　△ＤＥＦ;
  　　ＡＢ：ＢＣ＝ＤＥ：ＥＦ,
  　　ＢＣ：ＣＡ＝ＥＦ：ＦＤ,
  　　ＣＡ：ＡＢ＝ＦＤ：ＤＥ
  ならば、
  　△ＡＢＣ;(等角)△ＤＥＦ
  のことである。
• 命題６ー５の補足（２組の角が等しい三角形は他の角も等しい）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理		1-3
  命題		1-32
  その他

• 命題６ー５の補足２ (作図.辺が比例する三角形)

  前提	作図	推論
  定義		5-5
  公準
  公理
  命題	1-22,6-2補	1-20,5-18,5-22
  その他

• 命題６ー５は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-23,補(題4-2),5-5
  公準	1-5
  公理		1-1,1-3
  命題	1-22,1-23,6-2補	1-8,1-17,1-20,1-32,5-9,5-11,5-18,5-22,6-4
  その他

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