ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１０８（有理面積から中項面積を引いた残りの面積に等しい正方形の辺は余線分か劣線分）
　　有理面積から
　中項面積が
　　　ひかれる
ならば
　　残りの面積
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　余線分か
　　劣線分か［の］
　　２種の無理線分の一つ
　　　になる。

• 有理面積は、
  定義１０ー４の補足による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• 面積は、
  定義１０ー２の補足２による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。
• 余線分は、
  定義の補足(命題１０ー７３)による。
• 劣線分は、
  定義の補足（命題１０ー７６）による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４の補足による。

　　有理面積ＢＣから
　中項面積ＢＤが
　　　ひかれたとせよ。

• 　命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）
  により、
  　矩形(ＡＣ、ＡＢ’)；有理面積
  をとり、
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  により
  　矩形ＹＺ；中項面積
  をとり、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　矩形(ＡＣ、ＡＥ’)＝矩形ＹＺ
  をとり、
  　ＡＢ’＜ＡＥ’
  ならば
  　公準１ー２の補足（アルキメデスの原理）
  により、
  　自然数ｎを適当に決めて、
  　ｎＡＢ’＞ＡＥ’
  とし、
  　ＡＢ＝ｎＡＢ’、
  　Ｅ(ＡＢ；ＥＢ＝ＡＢ’)
  をとり、
  　矩形(ＡＣ、ＡＢ)、
  　交点Ｄ(垂線(Ｃ、ＡＣ)、垂線(Ｅ、ＡＢ))、
  　矩形(ＥＤ、ＥＢ)
  をとる。
• 　矩形ＢＣ；有理面積、
  　矩形ＢＤ；中項面積
  となっている。

　　残りのＥＣ
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　余線分か
　　劣線分か［の］
　　２種の無理線分の一つ
　　　になる
と主張する。

　有理線分ＦＧが
　　　定められ，
　　ＦＧ上にＢＣ
　　　に等しい
　矩形［ＧＨ］が
　　　つくられ，
　　ＤＢ
　　　に等しい
　ＧＫが
　　　《ひか》［つくら］れたとせよ。
　　　　[......(１)]

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　ＦＧをとり、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　ＦＨ、ＦＫをとる。
• 　ＦＧ；有理線分、
  　矩形ＢＣ＝矩形ＧＨ
  　矩形ＤＢ＝矩形ＧＫ
  となっている。

そうすれば
　残りのＥＣは
　　ＬＨ
　　　に等しい。

• 　前節、前々節による。
• 　矩形ＬＨ＝矩形ＬＨ
  となっている。

そこで
　ＢＣは
　　有理面積
　　　であり，
　ＢＤは
　　中項面積
　　　であり，
　ＢＣは
　　ＧＨに，
　ＢＤは
　　ＧＫ
　　　に等しい

• 　前節、 命題の設定
  による。
• 　矩形ＢＣ；有理面積、
  　矩形ＢＤ；中項面積、
  　矩形ＧＨ＝矩形ＢＣ、
  　矩形ＧＫ＝矩形ＢＤ
  となっている。

から，
　ＧＨは
　　有理面積，
　ＧＫは
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形ＧＨ；有理面積、
  　矩形ＧＫ；中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＦＧ上に
　　　つくられている。

• 　（１）
  による。
• 　ＦＧ；有理線分
  　矩形ＧＫ(ＦＧ、ＦＨ)、
  　矩形ＧＫ(ＦＧ、ＦＫ)
  となっている。

したがって
　ＦＨは
　　有理線分
　　　であり
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　でき，
　ＦＫは
　　有理線分
　　　であり
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約）
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＦＨ；有理線分、∩ＦＧ、
  　ＦＫ；有理線分、¬∩ＦＧ
  となっている。

ゆえに
　ＦＨは
　　ＦＫと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＦＨ¬∩ＦＫ
  となっている。

したがって
　ＦＨ、ＦＫは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＦＨ∩^^2 ＦＫ
  となっている。

それゆえ
　ＫＨは
　　余線分
　　　であり，
　ＫＦは
　　それへの付加
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＫＨ；余線分、
  　ＫＦ；余線分への付加
  となっている。

そこで
　ＨＦ上の正方形は
　　ＦＫ上の正方形より
　　ＨＦと通約
　　　できるか
または
　　通約
　　　できない

　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　場合分けとなっている。
• 　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
  による。
• 　正方(_ＨＦ)＝正方(_ＦＫ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ∩ＨＦ　ｘｏｒ　¬∩ＨＦ
  となっている。

まず
　　通約できる線分上の正方形だけ
　　　大きい
とせよ。

• 　第１の場合である。
• 　前節による。
• 　Ｘ∩ＨＦ
  となっている。

そして
　ＨＦ全体は
　　　定められた
　　有理線分ＦＧと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　（２）
  による。
• 　ＨＦ∩ＦＧ
  となっている。

したがって
　ＨＫは
　　第１の余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０�Vー１
  による。
• 　ＨＫ；第１の余線分
  　　ＨＦ、ＫＦ；有理線分、
  　　ＨＦ¬∩ＫＦ、
  　　正方(_ＨＦ)＝正方(_ＫＦ)＋正方(_Ｘ)
  　　Ｘ∩ＨＦ、
  　　ＨＦ∩ＦＧ
  となっている。

ところが
　　有理線分と第１の余線分によって
　　　かこまれる
　　面積
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　余線分
　　　である。

• 　命題１０ー９１（有理線分と第１の余線分の矩形に等しい正方形の辺は余線分）
  による。

ゆえに
　　ＬＨすなわちＥＣ
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、 （１）
  による。
• 　辺.正方(_；＝矩形ＬＨ＝矩形ＥＣ)；余線分
  となっている。

ところが
もし
　ＨＦ上の正方形が
　　ＦＫ上の正方形より
　　ＨＦと通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく，
　ＦＨ全体が
　　　定められた
　　有理線分ＦＧと
　　長さにおいて通約
　　　できる

• 　第２の場合である。
• 　（２）による。
• 　正方(_ＨＦ)＝正方(_ＦＫ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ¬∩ＨＦ
  　ＦＨ∩ＦＧ
  となっている。

ならば，
　ＫＨは
　　第４の余線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０�Vー４（第４の余線分）
  による。
• 　ＫＨ；第４の余線分
  　　正方(_ＨＦ)＝正方(_ＦＫ)＋正方(_Ｘ)
  　　Ｘ¬∩ＨＦ
  　　ＦＨ∩ＦＧ
  となっている。

ところが
　　有理線分と第４の余線分によって
　　　かこまれる
　　矩形
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　劣線分
　　　である。

• 　命題１０ー９４（有理線分と第４の余線分の矩形に等しい正方形の辺は劣線分）
  による。
• 　以下が略されている。
  「ゆえに
  　　ＬＨすなわちＥＣ
  　　　に等しい
  　正方形の辺は
  　　劣線分
  　　　である。
  」
  • 　前節、前々節、 （１）
    による。
  
  
• 　辺.正方(_；＝矩形ＬＨ＝矩形ＥＣ)；劣線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー１０８は、
  命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）
  により、
  　矩形ＡＢＷＣ(ＡＣ、ＡＢ)；有理面積
  をとり、
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  により
  　矩形ＢＷＤＥ(ＢＷ、ＢＥ)
  をとると、
  　矩形ＢＣ；有理面積、
  　矩形ＢＤ；中項面積
  となり、
  　命題６ー１３（作図.２線分の比例中項）
  により、
  　比例中項(ＡＥ、ＡＣ)
  をとれば、
  　辺.正方(_;＝矩形ＡＥ)＝比例中項(ＡＥ、ＡＣ)
  　　；余線分か劣線分
  のことである。
  
• 命題１０ー１０８は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,10-4補,補(題10-73),10�V-1,10�V-4
  公準		1-2補
  公理
  命題	6-16補3,補2(義10-3),10-14助,10-27,10-28,10-91,10-94	10-13,10-20,10-22,10-23系
  その他		場合分け

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