ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１０７（二つの中項面積の差に等しい正方形の辺と長さ通約の線分は二つの中項面積の差に等しい正方形の辺）
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺と通約
　　　できる
　線分は
　　それ自身二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　である。

• 中項面積の差に等しい正方形の辺は、
  定義の補足(命題１０ー７８)による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。

　　ＡＢを
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　とし，
　　ＣＤをＡＢと通約
　　　できるようにせよ。

• 　命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約）
  により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＥ、
  　　　小さい方をＢＥ
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　　　Ｂ’（ＡＥ；Ｂ’Ｅ＝ＢＥ）
  　　をとり、
  　　　改めて、
  　　　Ｂ’をＢ
  とし、
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  による。
• 　ＡＥ¬∩^2 ＢＥ、
  　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)；中項面積
  　矩形(ＡＥ、ＥＢ)；中項面積
  　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)¬∩矩形(ＡＥ、ＥＢ)
  　ＡＥ＞ＢＥ
  　ＡＢ∩ＣＤ
  となっている。

　ＣＤも
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　である
と主張する。
　　ＢＥを
　　ＡＢへの付加
　　　とし，

• 　命題の設定
  による。
• 　ＡＥ¬∩^2 ＢＥ、
  　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)；中項面積
  　矩形(ＡＥ、ＢＥ)；中項面積
  　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)¬∩矩形(ＡＥ、ＥＢ)
  　ＡＥ＞ＢＥ
  となっている。

そして
　同じ作図がなされた
とせよ。

• 　前命題１０ー１０５と同じ作図ということで、
  　「ＡＢが
  　　ＣＤに対するように，
  　ＢＥが
  　　ＤＦに
  　　　対するようにされた
  とせよ。」
  ということである。
  
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  による。
  
• 　ＡＢ；２つの中項面積の差に等しい正方形の辺、
  　　ＡＥ¬∩^^2 ＥＢ
  　　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)；中項面積
  　　矩形(ＡＥ、ＥＢ)；中項面積
  　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)¬∩矩形(ＡＥ、ＥＢ)
  　ＣＤ∩ＡＢ
  　ＡＢ：ＣＤ＝ＢＥ：ＤＦ
  となっている。 　　　　[......(１)]
  

そうすれば
　ＡＥ,ＥＢは
　　平方において通約
　　　できず，
　　それらの上の正方形の和を中項面積
　　　とし，
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形を中項面積
　　　とし，
さらに
　　それらの上の正方形の和を
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形と通約
　　　できないようにする。

• 　前節
  による。
• 　ＡＢ；２つの中項面積の差に等しい正方形の辺、
  　　ＡＥ¬∩^^2 ＥＢ
  　　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)；中項面積
  　　矩形(ＡＥ、ＥＢ)；中項面積
  　　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)¬∩矩形(ＡＥ、ＥＢ)
  となっている。

そして
　　先に
　　　証明されたように
　ＡＥ,ＥＢは
　　ＣＦ，ＦＤと，
　ＡＥ，ＥＢ上の正方形の和は
　　ＣＦ，ＦＤ上の正方形の和と，
　矩形ＡＥ,ＥＢは
　　矩形ＣＦ，ＦＤと通約
　　　できる。

• 前命題１０ー１０６と同様に
  　ということである。
  内容的には
  　以下のとおりである。
  
  そうすれば
  　ＡＥ，ＥＢは
  　　平方において通約
  　　　できない
  から，
  　ＣＦ，ＦＤも
  　　平方において通約
  　　　できない。
  　　　　[......(４)]
  
  • 　（１）
    　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）、
    により、
    　ＡＢ：ＢＥ＝ＣＤ：ＤＦ
    となり、
    　 　命題５ー１８（比例ならば合比も比例）
    により、
    　ＡＥ：ＢＥ＝ＣＦ：ＤＦ
    となり、
    　 　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
    による。
  • 　ＣＦ¬∩^2 ＦＤ
    となっている。
  
  そこで
  　ＡＥが
  　　ＥＢに対するように，
  　ＣＦが
  　　ＦＤに
  　　　対する
  　　　　[......(２)]
  
  • 　前節、
    による。
  • 　ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ
    となっている。
  
  から，
  　ＡＥ上の正方形が
  　　ＥＢ上の正方形に対するように，
  　ＣＦ上の正方形が
  　　ＦＤ上の正方形に
  　　　対する。
  　　　　　[......(５)]
  
  • 　前節、
    　命題６ー２２（４線分とその上の相似直線図形の比例）
    による。
  • 　正方(_ＡＥ)：正方(_ＥＢ)＝正方(_ＣＦ)：正方(_ＦＤ)
    となっている。
  
  したがって
  　　合比により
  　ＡＥ，ＥＢ上の正方形の和が
  　　ＥＢ上の正方形に対するように，
  　ＣＦ，ＦＤ上の正方形の和が
  　　ＦＤ上の正方形に
  　　　対する。
  
  • 　前節、
    　命題５ー１８（比例ならば合比も比例）
    による。
  • 　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)：正方(_ＥＢ)
    　　＝正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)：正方(_ＦＤ)
    となっている。
  
  ところが
  　ＢＥ上の正方形は
  　　ＤＦ上の正方形と通約
  　　　できる。
  　　　　[......(３)]
  
  • 　（１）、
    　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
    　命題１０ー９の系２ (長さで通約なら平方で通約) による。
  • 　正方(_ＢＥ)∩正方(_ＤＦ)
    となっている。
  
  したがって
  　ＡＥ,ＥＢ上の正方形の和も
  　　ＣＦ，ＦＤ上の正方形の和と通約
  　　　できる。
  　　　　[......(６)]
  
  • 　前節、前々節、
    　命題１０ー１１の補足 (４項比例で前項通約なら後項通約)
    による。
  • 　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)∩正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)
    となっている。
  
  また
  　ＡＥ上の正方形が
  　　矩形ＡＥ,ＥＢに対するように，
  　ＣＦ上の正方形が
  　　矩形ＣＦ，ＦＤに
  　　　対し，
  　ＡＥ上の正方形は
  　　ＣＦ上の正方形と通約
  　　　できる
  
  • 　（２）、
    　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）、
    　（３） （５）、
    　命題１０−１１の補足(４項比例で前項通約なら後項通約)
    による。
  • 　正方(_ＡＥ)：矩形(ＡＥ、ＥＢ)
    　　＝正方(_ＣＦ)：矩形(ＣＦ、ＦＤ)、
    　正方(_ＡＥ)∩正方(_ＣＦ)
    となっている。
  
  から，
  　矩形ＡＥ,ＥＢも
  　　矩形ＣＦ，ＦＤと通約
  　　　できる。
  
  • 　前節、
    　命題１０−１１の補足(４項比例で前項通約なら後項通約)
    による。
  • 　矩形(ＡＥ、ＥＢ)∩矩形(ＣＦ、ＦＤ)
    となっている。
  
  
• 　ＡＥ∩ＣＦ、
  　ＢＥ∩ＤＦ、
  　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)∩正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)
  　矩形(ＡＥ、ＥＢ)∩矩形(ＣＦ、ＦＤ)
  となっている。

したがって
　ＣＦ，ＦＤは
　　平方において通約
　　　できず，
　　それらの上の正方形の和を中項面積
　　　とし，
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形を中項面積
　　　とし，
さらに
　　それらの上の正方形の和を
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形と通約
　　　できないようにする。

• 　前節、（１）
  による。
• 　ＣＦ¬∩^2 ＤＦ、
  　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＤＦ)；中項面積、
  　矩形(ＣＦ、ＦＤ)；中項面積、
  　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＤＦ)¬∩矩形(ＣＦ、ＦＤ)
  となっている。　

よって
　ＣＤは
　　二つ中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７８)(二つの中項面積の差に等しい正方形の辺)
  による。
• 　ＣＤ；二つ中項面積の差に等しい正方形の辺
  　　ＣＦ¬∩^2 ＤＦ、
  　　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＤＦ)；中項面積、
  　　矩形(ＣＦ、ＦＤ)；中項面積、
  　　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＤＦ)¬∩矩形(ＣＦ、ＦＤ)
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー１０７は、
  　命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約 ）
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  により、
  　２線分ＡＥ、ＥＢ
  　　ＡＥ¬∩^2 ＢＥ、
  　　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)；中項面積
  　　矩形(ＡＥ、ＢＥ)；中項面積
  　　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)¬∩矩形(ＡＥ、ＢＥ)
  　　ＡＥ＞ＢＥ
  　ＡＢ∩ＣＤ
  をとり、
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  　ＡＢ：ＣＤ＝ＢＥ：ＤＦ
  をとれば、
  　ＣＤ；二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
  　　ＣＦ¬∩^2 ＦＤ、
  　　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)；中項面積、
  　　矩形(ＣＦ、ＦＤ)；中項面積
  　　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)¬∩矩形(ＣＦ、ＦＤ)
  のことである。
• 命題１０ー１０７は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		補(題10-78)
  公準
  公理
  命題	1-3,6-12,10-6系,10-35	5-16,5-18,6-22,10-9系2,10-11,10-11補,10-22助
  その他

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