ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー４（構成.複数の比で順次に比例する最小の数）
順次に比例（複数の比）
　任意個の比が
　それぞれの最小数において与えられた
とき、
　与えられた比をなして
　順次に比例する最小の数を
　見いだすこと。

• 比は、 定義５ー３による。
• 最小は、 定義の補足３（命題３ー７）による。
• 数は、 定義７ー２による。
• 順次に比例（複数の比）
  は、
  定義の補足（命題８ー１）（順次に比例）が
  １つの比によるのに対し、
  複数の比によるものである。
  (以下、定義の補足（命題８ー４）(順次に比例（複数の比）)という。)
  

　最小数における
　与えられた比を
　Ａ対Ｂ、Ｃ対Ｄ、 […、Ｅ_2k-1対Ｅ_2k、…、]Ｅ対Ｆ
とせよ。

• 　準一般的な証明である。
  　コメント２（命題５ー１）
  　参照のこと。
• 　Ａ＝Ｅ₁、
  　Ｂ＝Ｅ₂、
  　Ｃ＝Ｅ₃、
  　Ｄ＝Ｅ₄、
  　Ｅ＝Ｅ_2n-1、
  　Ｆ＝Ｅ_2n
  としている。
• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１） 参照のこと
• 　Ａ：Ｂ、Ｃ：Ｄ、[…、Ｅ_2k-1：Ｅ_2k、…、]Ｅ：Ｆ
  を(最小２項)として、
  とっている。

このとき
　Ａ対Ｂ、Ｃ対Ｄ、[…、Ｅ_2k-1対Ｅ_2k、…、]Ｅ対Ｆなる比をなして
　順次に比例する最小の数を
　見いださねばならぬ。

　Ｂ、Ｃに割り切られる
　最小数Ｇがとられた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 命題７ー３４（２数の最小公倍数） による。
• 　数Ｇ(;;ＬＣＭ(Ｂ、Ｃ))
  をとっている。

そして
　ＢがＧを割った商が
　ＡがＨを割った商に等しく、
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　定義７ー８の補足（商）
  により、
  　Ｇ：Ｂ＝Ｈ：Ａとなり、
  　命題５ー７系（比例すれば逆も比例）
  により
  　Ｂ：Ｇ＝Ａ：Ｈとなる必要があるので、
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により
  　Ｈが構成される。
  
• 　数Ｈ(;;商(Ｇ,Ｂ)＝商(Ｈ,Ａ))
  をとっている。
  　Ａ：Ｂ＝Ｈ：Ｇ
  となる。

　ＣがＧを割った商が
　ＤがＫ[₃]を割った商に等しい
ようにせよ。
　　　　　　[......(ｃ)]

• 　Ｈ＝Ｋ₁、Ｇ＝Ｋ₂
  とする。
• 　定義７ー８の補足（商）
  により、
  　Ｇ：Ｃ＝Ｋ₃：Ｄとなり
  　命題５ー７系（比例すれば逆も比例）
  により
  　Ｃ：Ｇ＝Ｄ：Ｋ₃となる必要があるので
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により
  　Ｋ₃が構成される。
  
• 　数Ｋ₃(;;商(Ｇ,Ｃ)＝商(Ｋ₃,Ｄ))
  をとっている。
  　Ｃ：Ｄ＝Ｇ：Ｋ₃
  となる。

ところが
　Ｅ[₅]は
　Ｋ[₃]を割り切るか
　割り切らないか
　である。

• 場合分けである

まず
　割り切る
とせよ。

• 場合分け（１）である
• Ｅ₅｜Ｋ₃
  となっている。

そして
　Ｅ[₅]がＫ[₃]を割った商が
　《Ｆ》[Ｅ₆]が《Ｌ》[Ｋ₄]を割った商に等しい
　　　　　　[......(ｄ)]
ようにせよ。

• 　定義７ー８の補足（商）
  により、
  　Ｋ₃：Ｅ₅＝Ｋ₄：Ｅ₆となり
  　命題５ー７系（比例すれば逆も比例）
  により
  　Ｅ₅：Ｋ₃＝Ｅ₆：Ｋ₄となる必要があるので
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により
  　Ｋ₄が構成される。
  
• 　商(Ｋ₃,Ｅ₅)＝商(Ｋ₄,Ｅ₆)
  となっている。
  　Ｅ₅：Ｅ₆＝Ｋ₃：Ｋ₄
  となる。

そうすれば
　ＡがＨを、
　ＢがＧを割った商は
　等しい

• （ｂ）による。　　　　　　
• 　商(Ｈ,Ａ)＝商(Ｇ,Ｂ)
  となっている。

から、
　ＡがＢに対するように、
　ＨがＧに対する。

• 　定義７ー８の補足（商）
  により、
  　Ｈ：Ａ＝Ｇ：Ｂとなり、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　Ａ：Ｂ＝Ｈ：Ｇとなる。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｈ：Ｇ
  となっている。

同じ理由で
　ＣがＤに対するように、
　ＧがＫ₃に対し、
さらに
　Ｅ[₅]が《Ｆ》[Ｅ₆]に対するように、
　Ｋ[₃]が《Ｌ》[Ｋ₄]に対する。

• （ｃ）、 （ｄ）、
  　定義７ー８の補足（商）
  により、
  　Ｄ：Ｃ＝Ｋ₃：Ｇ、Ｅ₆：Ｅ₅＝Ｋ₄：Ｋ₃となり、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　Ｃ：Ｄ＝Ｇ：Ｋ₃、Ｅ₅：Ｅ₆＝Ｋ₃：Ｋ₄となる。
  
• 　Ｃ：Ｄ＝Ｇ：Ｋ₃、Ｅ₅：Ｅ₆＝Ｋ₃：Ｋ₄
  となっている。

それゆえ
　Ｈ、Ｇ、Ｋ[₃]、《Ｌ》[Ｋ₄]は
　Ａ対Ｂ、Ｃ対Ｄ、Ｅ[₅]対《Ｆ》[Ｅ₆]の比をなして
　順次に比例する。

• 前節、前々節による。
  　Ａ：Ｂ＝Ｈ：Ｇ、Ｃ：Ｄ＝Ｇ：Ｋ₃、Ｅ₅：Ｅ₆＝Ｋ₃：Ｋ₄
  となっている。

次に
　最小でもある
と主張する。

もし
　Ｈ、Ｇ、Ｋ[₃]、《Ｌ》[Ｋ₄]が
　Ａ対Ｂ、Ｃ対Ｄ、Ｅ[₃]対《Ｆ》[Ｅ₆]の比をなして
　順次に比例する最小の数
　でない
ならば、

• 背理法の仮定を述べようとしている。

　それら［最小の数］をＮ、Ｏ、Ｍ[₃]、《Ｐ》[Ｍ₄]
とせよ。

• 背理法の仮定である。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｎ：Ｏ、Ｃ：Ｄ＝Ｏ：Ｍ₃、Ｅ：Ｆ＝Ｍ₃：Ｍ₄(最小３対項)
  となっているとする。
  

そうすれば
　ＡがＢに対するように、
　ＮがＯに対し、

• 前節による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｎ：Ｏ
  となっている。

　Ａ、Ｂは最小であり、

• 命題の設定である。
• 　Ａ：Ｂ(最小)
  となっている。

　最小の数は
　同じ比をもつ数を割り切り、
　大きい数が大きい数を、
　小さい数が小さい数を、
　すなわち
　前項が前項を、
　後項が後項を割り切り、
　その商は等しい

• 命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る） による。

から、
　ＢはＯを割り切る。

• 　Ｂ｜Ｏ
  となっている。

同じ理由で
　ＣもＯを割り切る。

• 命題の設定、命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る） による。
• 　Ｃ｜Ｏ
  となっている。

ゆえに
　Ｂ、ＣはＯを割り切る。

• 前節、前々節による。
• 　(Ｂ、Ｃ)｜Ｏ
  となっている。

したがって
　Ｂ、Ｃに割り切られる
　最小数もＯを割り切る
であろう。

• 命題７ー３５（最小公倍数と公倍数） による。
• 　ＬＣＭ(Ｂ,Ｃ)｜Ｏ
  となっている。

ところが
　Ｇは
　Ｂ、Ｃに割り切られる最小数である。

• （ａ）による。
• 　Ｇ＝ＬＣＭ(Ｂ,Ｃ)
  となっている。

それゆえ
　ＧはＯを割り切る、
すなわち
　大きい数が小さい数を割り切る。

• 前節、背理法の仮定による。
• 　Ｇ＞Ｏ、
  　Ｇ｜Ｏ
  となっている。

　これは不可能である。

ゆえに
　Ｈ、Ｇ、Ｋ[₃]、《Ｌ》[Ｋ₄]より小さくて
　順次にＡ対Ｂ、Ｃ対Ｄ、Ｅ[₅]対《Ｆ》[Ｅ₆]の比をなす
　いかなる数も
　存在しない
であろう。

• 背理法による。

次に　
　Ｅ[₅]が
　Ｋ[₃]を割り切らない
とせよ。

• 場合分け（２）である。
• 　Ｅ₅¬｜Ｋ₃
  としている。

　Ｅ[₅]、Ｋ[₃]に割り切られる
　最小数Ｍ[₃]がとられた
とせよ。
　　　　　　[......(ｅ)]

• 命題７ー３４（２数の最小公倍数） による。
• 　数Ｍ₃(;;＝ＬＣＭ(Ｅ₅,Ｋ₃))
  をとっている。

そして
　Ｋ[₃]がＭ[₃]を割った商が
　Ｈ、Ｇの双方がＮ、Ｏの双方を割った商に等しい
とし、
　　　　　　[......(ｆ)]

• 　定義７ー８の補足 （商）
  により、
  　Ｍ₃：Ｋ₃＝Ｎ：Ｈ＝Ｏ：Ｇとなり
  　命題５ー７系 （比例すれば逆も比例）
  により
  　Ｋ₃：Ｍ₃＝Ｈ：Ｎ＝Ｇ：Ｏとなる必要があるので
  　命題６ー１２ （作図.比例第４項）
  により
  　Ｎ、Ｏが構成される。
  
• 　商(Ｍ,Ｋ)＝商(Ｎ,Ｈ)＝商(Ｏ,Ｇ)
  となっている。

　ＥがＭを割った商が
　ＦがＰを割った商に等しい
とせよ。
　　　　　　[......(ｇ)]

• 　定義７ー８の補足（商）
  により、
  　Ｍ：Ｅ＝Ｐ：Ｆとなり
  　命題５ー７系（比例すれば逆も比例）
  により
  　Ｅ：Ｍ＝Ｆ：Ｐとなる必要があるので
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により
  　Ｐが構成される。
  
• 　商(Ｍ,Ｅ)＝商(Ｐ,Ｆ)
  となっている。

　ＨがＮを、
　ＧがＯを割った商は
　等しい

• （ｆ） による。
• 　商(Ｎ,Ｈ)＝商(Ｏ,Ｇ)
  となっている。

から、
　ＨがＧに対するように、
　ＮがＯに対する。

• 　定義７ー８の補足（商）
  により、
  　Ｎ：Ｈ＝Ｏ：Ｇとなり、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　Ｈ：Ｇ＝Ｎ：Ｏとなる。
  
• 　Ｈ：Ｇ＝Ｎ：Ｏ
  となっている。

ところが
　ＨがＧに対するように、
　ＡがＢに対する。

• 　（ｂ）、 　定義７ー８の補足（商）
  により、
  　Ｈ：Ａ＝Ｇ：Ｂとなり、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　Ａ：Ｂ＝Ｈ：Ｇとなる
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｈ：Ｇ
  となっている。

それゆえ
　ＡがＢに対するように、
　ＮがＯに対する。

• 前節、前々節の結果、
  命題５ー１１（同一の比に同じ比） による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｎ：Ｏ
  となっている。

同じ理由で
　ＣがＤに対するように、
　ＯがＭに対する。

• 　（ｃ）、 　定義７ー８の補足（商）
  により、
  　Ｇ：Ｃ＝Ｋ：Ｄとなり、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　Ｃ：Ｄ＝Ｇ：Ｋとなる
  また、
  　（ｆ）、 定義７ー８の補足（商）
  により、
  　Ｏ：Ｇ＝Ｍ：Ｋとなり、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　Ｇ：Ｋ＝Ｏ：Ｍとなる
  したがって、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比） により、
  　Ｃ：Ｄ＝Ｏ：Ｍとなる。
  
• 　Ｃ：Ｄ＝Ｏ：Ｍ
  となっている。

また
　ＥがＭを、
　ＦがＰを割った商は
　等しい

• （ｇ）による。
• 　商(Ｍ,Ｅ)＝商(Ｐ,Ｆ)
  となっている。　　　　　　

から、
　ＥがＦに対するように、
　ＭがＰに対する。

• 　定義７ー８の補足（商）
  により、
  　Ｍ：Ｅ＝Ｐ：Ｆとなり、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　Ｅ：Ｆ＝Ｍ：Ｐとなる。
  
• 　Ｅ：Ｆ＝Ｍ：Ｐ
  となっている。

ゆえに
　Ｎ、Ｏ、Ｍ、Ｐは
　Ａ対Ｂ、Ｃ対Ｄ、Ｅ対Ｆの比をなして
　順次に比例する。

• 前節、前々節、前々々節の結論による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｎ：Ｏ、Ｃ：Ｄ＝Ｏ：Ｍ、Ｅ：Ｆ＝Ｍ：Ｐ
  となっている。

次に
　Ａ対Ｂ、Ｃ対Ｄ、Ｅ対Ｆの比をなす数のうち
　最小でもある
と主張する。

もし
　最小でない
ならば、

• 背理法の仮定を述べようとしている。

　Ｎ、Ｏ、Ｍ、Ｐより小さくて、
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆの比をなして
　順次に比例する何らかの数がある
であろう。

　それらをＱ、Ｒ、Ｓ、Ｔとせよ。

• 背理法の仮定である。
• Ｎ：Ｏ＝Ａ：Ｂ＝Ｑ：Ｒ、
  Ｏ：Ｍ＝Ｃ：Ｄ＝Ｒ：Ｓ、
  Ｍ：Ｐ＝Ｅ：Ｆ＝Ｓ：Ｔ、
  Ｎ＞Ｑ、Ｏ＞Ｒ、Ｍ＞Ｓ、Ｐ＞Ｔ
  となっている。
  

そうすれば
　ＱがＲに対するように、
　ＡがＢに対し、

• 前節の背理法の仮定による。
• 　Ｑ：Ｒ＝Ａ：Ｂ
  となっている。

　Ａ、Ｂは最小であり、

• 命題の設定である。
• 　Ａ：Ｂ(最小)
  となっている。

　最小の数は
　それらと同じ比をもつ数を割り切り、 　前項が前項を、
　後項が後項を割り切り、
　その商は等しいから、
　ＢはＲを割り切る。

• 命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る） による。
• 　Ｂ｜Ｒ
  となっている。

同じ理由で
　ＣもＲを割り切る。

• 背理法の仮定、 命題の設定、
  命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る） による。
• 　Ｃ｜Ｒ
  となっている。

それゆえ
　Ｂ、Ｃは
　Ｒを割り切る。

• 前節、前々節の結果による。
• 　(Ｂ、Ｃ)｜Ｒ
  となっている。

ゆえに
　Ｂ、Ｃに割り切られる最小の数も
　Ｒを割り切る
であろう。

• 命題７ー３５（最小公倍数と公倍数） による。
• 　ＬＣＭ(Ｂ,Ｃ)｜Ｒ
  となっている。

ところが
　Ｇは
　Ｂ、Ｃに割り切られる最小の数である。

• （ａ）による。 　　　　　
• 　Ｇ＝ＬＣＭ(Ｂ,Ｃ)
  となっている。

したがって
　ＧはＲを割り切る。

• 前節、前々節の結果による。
• 　Ｇ｜Ｒ
  となっている。

そして
　ＧがＲに対するように、
　ＫがＳに対する。

• 　（ｃ） により
  　Ｇ：Ｃ＝Ｋ：Ｄ、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　Ｃ：Ｄ＝Ｇ：Ｋ、
  　背理法の仮定
  により
  　Ｃ：Ｄ＝Ｒ：Ｓ
  したがって
  　Ｇ：Ｋ＝Ｒ：Ｓ
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　Ｇ：Ｒ＝Ｋ：Ｓ
  
• 　Ｇ：Ｒ＝Ｋ：Ｓ
  となっている。
  

それゆえ
　ＫもＳを割り切る。

• 　前節、前々節の結果、
  　定義７−２１（比例）
  による。
  
• 　Ｋ｜Ｓ
  となっている。

ところが
　ＥもＳを割り切る。

• 　背理法の仮定
  により
  　Ｓ：Ｔ＝Ｅ：Ｆである
  が
  　命題の設定
  により、
  　Ｅ：Ｆは最小数であり、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  により
  　ＥはＳを割り切る。
  
• 　Ｅ｜Ｓ
  となっている。

ゆえに
　Ｅ、ＫはＳを割り切る。

• 前節、前々節の結果による。
• 　(Ｅ、Ｋ)｜Ｓ
  となっている。

したがって
　Ｅ、Ｋに割り切られる
　最小の数もＳを割り切る
であろう。

• 命題７ー３５（最小公倍数と公倍数） による。
• 　ＬＣＭ(Ｅ,Ｋ)｜Ｓ
  となっている。

ところが
　Ｍは
　Ｅ、Ｋに割り切られる最小の数である。

• （ｅ）による。
• 　Ｍ＝ＬＣＭ(Ｅ,Ｋ)
  となっている。

それゆえ
　ＭはＳを割り切る、

• 命題７ー３５（最小公倍数と公倍数） による。
• 　Ｍ｜Ｓ
  となっている。

すなわち
　大きい数が小さい数を割り切る。

• 前節、 背理法の仮定による。

　これは不可能である。
ゆえに
　Ｎ、Ｏ、Ｍ、Ｐより小さくて
　順次にＡ対Ｂ、Ｃ対Ｄ、Ｅ対Ｆの比をなす
　いかなる数もない
であろう。

• 背理法による。

したがって
　Ｎ、Ｏ、Ｍ、Ｐは
　順次にＡ対Ｂ、Ｃ対Ｄ、Ｅ対Ｆの比をなす
　最小の数である。

［ＥとＫについての
　２つの場合の結果により、
　Ｎ、Ｏ、Ｍ、Ｐは
　順次にＡ対Ｂ、Ｃ対Ｄ、Ｅ対Ｆの比をなす
　最小の数である。］
　これが証明すべきことであった。

• Ａ：Ｂ、Ｃ：Ｄ、Ｅ：Ｆなる比で、
  順次に比例する
  最小の数を見いだすことである。
  　
• 命題８ー４は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-8補
  公準
  公理
  命題	6-12,7-34	5-7系,5-11,5-16,7-20,7-21,7-35
  その他	コ4(題7-1)	背理法、場合分け

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