ユークリッド原論をどう読むか（６）
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ユークリッド原論

第３巻

命題３ー７（円内の点から円周への線分１）　
直径に近い・遠い
（円に直径を引く） 　 最大　最小　
もし
　円の直径上に
　円の中心でない１点がとられ、
　その点から
　円周に線分がひかれるならば、
　中心が
　　その上にあるものが
　最も大きく、
　この直径の残りが
　最も小さく、
　他の線分のうち
　中心を通る線分に
　　近いものが
　遠いものよりも常に大きく、
　そして
　その点から円周へ
　ただ二つの等しい線分が
　最も小さい線分の両側に
　ひかれるであろう。
　

• 円は定義１ー１５による。
• 直径は定義１ー１７による。
• 中心は定義１ー１６による。
• 点は定義１ー１による。
• 円周は定義１ー１７の補足による。
• 線分は定義の補足（命題１ー１）による。
• 大きいは公理１ー８による。
• 小さいは公理１ー８の補足による。
  最も大きいことを最大といい、
  最も小さいことを最小という。 （以下、定義の補足３（命題３ー７）（最大・最小）という。）
• 等しいは公理１ー７による。
• 線分に近いは、
  　その線分と端点を共有する線分について、
  　できる角が小さいことをいう。
• 線分に遠いは、
  　その線分と端点を共有する線分について、
  　できる角が大きいことをいう。
  　（以下、定義の補足（命題３−７）という。）

ＡＢＣＤを円、
　ＡＤをその直径とし、
　ＡＤ上に
　円の中心でない点Ｆがとられ、
　円の中心をＥとし、
　Ｆから円［周］ＡＢＣＤに
　線分ＦＢ、ＦＣ、ＦＧがひかれたとせよ。
ＦＡが最も大きく、
　ＦＤが最も小さく、
　他の線分のうち
　ＦＢはＦＣより、
　ＦＣはＦＧより大きい
　と主張する。

• 公準１ー１の補足により
  　円周上にＡをとり、
  　命題３ー１により
  　円の中心Ｅをとり、
  　公準１ー１により
  　線分ＡＥを結び、
  　公準１ー２により
  　ＡＥを延長し、
  　命題の補足３（定義１ー１４）により
  　その延長と円周との交点をＤとする。
  作図の経過から
  　ＡＤは直径である。
  すなわち、
  　与えられた円に直径を引くことができる
  （以下、命題３ー７の補足２（作図:円に直径を引く）という。）
  　公準１ー１の補足により
  　直径上の線分ＥＤの上にＦをとる。
  一方の半円について、
  　公準１ー１の補足により、
  　円周上にＢをとり、
  　弧ＢＤ上にＣをとり、
  　弧ＣＤ上にＧをとり、
  　公準１ー１により、
  　ＦＢ、ＦＣ、ＦＧを結ぶ。
  原論では溯って、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを用いている。

ＢＥ、ＣＥ、ＧＥが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１による。

そうすれば
　すべての三角形において
　２辺の和は残りの１辺より大きいから、

• 命題１ー２０である。

ＥＢ、ＥＦの和は
　ＢＦより大きい。
しかも
　ＡＥはＢＥに等しい。

• 定義１ー１５による。

それゆえ
　ＡＦはＢＦより大きい。

• 公理１ー２により、
  ＥＢ、ＥＦの和は
  　ＡＥ、ＥＦの和に等しく、
  ＡＥ、ＥＦの和は
  　ＡＦであるので、
  　公理１ー８の補足２による。
• 第１巻では、
  　こういう簡明な、
  　省略した記述は見られなかった。

［したがって
ＡＦは
　Ｆと円周上の点とを結ぶ線分のうちで
　最も大きい。］ 【・・・(1)】

• Ｂは
  　半円の円周上の任意の位置にある。
  それゆえ
  ＡＦは、
  　円周上のＡ以外の点と
  　　Ｆとを結んだ線分
  　より大きい。
  すなわち
  　円周上の点と
  　　Ｆとを結んだ線分の内で
  　最も大きい。

また
ＢＥは
　ＣＥに等しく、

• 定義１ー１５による。

ＦＥは
　共通であるから、
２辺ＢＥ、ＥＦは
　２辺ＣＥ、ＥＦに等しい。
ところが
　角ＢＥＦも角ＣＥＦより大きい。

• 命題の設定 , 公理１ー８による。

ゆえに
底辺ＢＦは
　底辺ＣＦより大きい。

• 命題１ー２４による。

同じ理由で
　ＣＦも［Ｇ］Ｆ《Ｈ》より大きい。
［したがって
　中心を通る線分に近いものが
　遠いものよりも常に大きい。］ 【・・・(2)】

• 円周上の点と
  　Ｅとを結ぶ線分が、
  　線分ＥＦとなす角が
  　　大きいほど、
  　したがって
  　線分ＥＡとなす角が
  　　小さいほど、
  その点と
  　Ｆとを結ぶ線分は
  　大きい。
• 定義１−４の補足３により
  　ＢＦは角ＣＦＡの間にあり、
  　公理１ー８の補足により
  角ＢＦＡは
  　角ＣＦＡより小さいので、
  ＢＦは
  　ＣＦよりＡＦに近い。

また
ＧＦ、ＦＥの和は
　ＥＧより大きく、

• 命題１ー２０による。

ＥＧは
　ＥＤに等しいから、

• 定義１ー１５による。

ＧＦ、ＦＥの和は
　ＥＤより大きい。

• 公理１ー８の補足２による。

双方から
　ＥＦがひかれたとせよ。
　そうすれば
残りのＧＦは
　残りのＦＤより大きい。

• 公理１ー４の補足２による。

［したがって
ＦＤは
　Ｆと円周上の点とを結ぶ線分のうちで
　最も小さい。］ 【・・・(3)】

• Ｂは
  　半円の円周上の任意の位置にあった。
  公理１ー８の補足より、
  ＧＦは
  　ＢＦより小さかったから、
  ＦＤは
  　ＢＦより小さい。
  それゆえ
  ＤＦは、
  　円周上の
  　Ｄ以外の点とＦとを結んだ線分より小さい。
  すなわち
  　円周上の点とＦとを結んだ線分の内で最も小さい。

ゆえに
　ＦＡは最も大きく、
　ＦＤは最も小さく、
　ＦＢはＦＣより、
　ＦＣはＦＧより大きい。

• (1) ,(2) ,(3) による。

また
　点Ｆから円［周］ＡＢＣＤに
　ただ二つの等しい線分が
　最も小さい線分ＦＤの両側に
　ひかれるであろう
　と主張する。
線分ＥＦ上に
　その上の点Ｅにおいて
　角ＧＥＦに等しく
　角ＦＥＨがつくられ、 【・・・(a)】

• 命題１ー２３により
  　角ＧＥＦに等しい角ＦＥＨを、
  　ＥＦについてＧＥＦと反対側につくり、
  　公準１ー２により
  　ＥＨをＨの方向に延長すると、
  　命題３−２の補足により
  　円周と交わる。
  その交点を改めてＨとする。
• ＧＥＦという順による角の向きに
  　ＦＥＨという順の角の向きが一致することに
  　注意すること。

ＦＨが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１による。

そうすれば
　ＧＥはＥＨに等しく、

• 定義１ー１５による。

ＥＦは
　共通であるから、
２辺ＧＥ、ＥＦは
　２辺ＨＥ、ＥＦに等しい。
そして
角ＧＥＦは
　角ＨＥＦに等しい。

• (a) による。

それゆえ
底辺ＦＧは
　底辺ＦＨに等しい。 【・・・(4)】

• 命題１ー４による。
• これで
  　ＦＧ、ＦＨという２本の等しい線分が
  　ＦＤの両側に引かれることが分かった。
  　それ以外に
  　これらに等しい線分はないことが、
  　証明すべきものとして残っている。

また
　点Ｆから円周に
　ＦＧに等しい他のいかなる線分も
　ひかれないであろう
　と主張する。
もし可能ならば

• 背理法の仮定を述べようとしている。
• ＡＤについて
  　Ｇと同じ側の円周上の点については、
  　これまでの論証で証明済みである。
• 「もし可能ならば」は、
  コメント２(命題１−７）参照のこと。

［ＦＫがＦＧと等しくなるような
　点Ｋは、
ＡＤについて、Ｈと同じ側にある、
　弧ＡＨ上の場合と
　弧ＨＤ上の場合
がある。
弧ＡＨ上の場合］

ＦＫが引かれたとせよ。 【・・・(b)】

• 背理法の仮定である。

そうすれば
ＦＫは
　ＦＧに等しく、

• (b) による。

ＦＧは
　ＦＨに等しいから、

• (4) による。

ＦＫも
　ＦＨに等しい。

• 公理１ー１による。

すなわち、
　中心を通る線分に近いものが
　遠いものに等しい。
これは不可能である。

• 本命題の先に証明された部分と
  　矛盾することをのべている。

［弧ＨＤ上の場合も
　弧ＡＨ上の場合と同様に
　不可能であることが生じる。］
それゆえ
［２つの場合の結果により］
　点Ｆから円周に
　ＧＦに等しい［ＨＦの］他のいかなる線分も
　ひかれないであろう。

• 背理法による。

したがって
　ただ一つである。

• ＧＦに等しい線分は
  　ＨＦただ一つであるということ。
  したがって
  　等しい線分は
  　ただ二つということになる。

よってもし
　円の直径上に
　円の中心でない１点がとられ、
　その点から円周に
　線分がひかれるならば、
　中心がその上にあるもの
　　が最も大きく、
　この直径の残りが最も小さく、
　他の線分のうち
　中心を通る線分に近いものが
　遠いものよりも常に大きく、
　そして
　その点から円周へ
　ただ二つの等しい線分が
　最も小さい線分の両側にひかれるであろう。
　
これが証明すべきことであった。

• 命題３ー７の補足２（円に直径を引く）

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-1,1-1補,1-2
  公理
  命題	補3(義1-14),3-1
  その他

• 命題３ー７は 推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-4補3,1-15
  公準	1-1,1-1補,1-2
  公理		1-1,1-2,1-4補2,1-8,1-8補,1-8補2
  命題	1-23,3-1,3-2補	1-4,1-20,1-24
  その他		背理法,コ2(題1-7)、場合分け

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