ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー３４（構成.２数の最小公倍数）
(最小公倍数・公倍数)
　２つの数が与えられた
とき、
　それらが割り切る最小数を見いだすこと。

• 数は、 定義７ー２による。
• 割り切るは、 定義５ー１の補足２による。
• 最小は、 定義の補足３（命題３ー７）による。
  
• 定義７ー５による倍数のことであり、
  最小公倍数とは、
  　２つ以上の数について、
  　共通の倍数を公倍数といい、
  　そのうち最小のものをいう
  (以下、定義の補足(命題７ー３４) (最小公倍数・公倍数)という。)
  

　与えられた２数を
　Ａ、Ｂとせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
• 　数Ａ、Ｂ
  をとっている。

このとき
　それらが割り切る最小数を
　見いださねばならぬ。

　Ａ、Ｂは
　互いに素である
か
　ないか
である。

• 場合分けである。

まず
　Ａ、Ｂが互いに素であるとし、

• 場合分け（１）である。
• 　Ａ;(互いに素)Ｂ
  としている。

　ＡがＢにかけてＣをつくる
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　Ｃ(;;Ａ×Ｂ)
  をとっている。

そうすれば
　ＢもＡにかけてＣをつくった
ことになる。

• 命題７ー１６（積の可換性）
  による。
• 　Ｃ;Ｂ×Ａ
  となっている。

ゆえに
　Ａ、Ｂは
　Ｃを割り切る。

• 命題の補足３（定義７ー１６）（かけられた数が積を割り切る）
  による。
• 　(Ａ、Ｂ);｜Ｃ
  となっている。

次に
　最小でもある
と主張する。

もし
　最小でないならば、

• 背理法の仮定を述べようとしている。

　Ａ、Ｂは
　Ｃより小さい何らかの数を割り切る
であろう。

　Ｄを割り切る
とせよ。
[......(ｂ)]

• 背理法の仮定である。
• 　Ｄ[;;(Ａ、Ｂ)｜Ｄ、＜Ｃ]
  としている。

そして
　ＡがＤを割った商に等しい
　個数の単位がＥのなかにある
とし、
　ＢがＤを割った商に等しい
　個数の単位がＦのなかにある
とせよ。

• 　数Ｅ(;;個数(Ｅ,単位)＝商(Ｄ,Ａ))、
  　数Ｆ(;;個数(Ｆ,単位)＝商(Ｄ,Ｂ))
  としている。

そうすれば
　ＡはＥにかけてＤをつくり、
　ＢはＦにかけてＤをつくった。
　　　　　　[......(１)]

• 命題７ー１５（割る数と商のいれかえ）
  による。
• 　Ｄ;Ａ×Ｅ、
  　Ｄ;Ｂ×Ｆ
  となっている。

それゆえ
　Ａ、Ｅの積は
　Ｂ、Ｆの積に等しい。

• 公理の補足２（命題７ー４） （約数・等分(倍数)での代入の原理）
  による。
• 　Ａ×Ｅ＝Ｂ×Ｆ
  となっている。

ゆえに
　ＡがＢに対するように、
　ＦがＥに対する。

• 命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｆ：Ｅ
  となっている。

ところが
　Ａ、Ｂは互いに素であり、
　［互いに］素であるものは最小でもあり、
　最小の数は同じ比をもつ数を、
　大きい数が大きい数を、
　小さい数が小さい数を割り切り、
　その商は等しい。

• 命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）、
  命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  による。
• 　商(Ｆ,Ａ)＝商(Ｅ,Ｂ)
  となっている。

したがって
　後項が後項を、
すなわち
　ＢがＥを割り切る。
　　　　　　[......(２)]
そして
　Ａは
　Ｂ、ＥにかけてＣ、Ｄをつくった

• （ａ）、 （１）による。
• 　Ａ×(Ｂ、Ｅ)＝(Ｃ、Ｄ)
  となっている。

から、
　ＢがＥに対するように、
　ＣがＤに対する。

• 命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
• 　Ｂ：Ｅ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。

ところが
　ＢはＥを割り切る。

• （２）による。
• 　Ｂ｜Ｅ
  となっている。

それゆえ
　ＣもＤを割り切る。

• 前節、前々節の結果、
  定義７−２１（比例）
  による。
• 　Ｃ｜Ｄ
  となっている。

すなわち
　大きい数が小さい数を割り切る。

• （ｂ）により、Ｃ＞Ｄであり、
  前節の結果により、Ｃ｜Ｄとなっている。

　これは不可能である。

ゆえに
　Ａ、Ｂは
　Ｃより小さいいかなる数をも割り切らない。

• 背理法による。

よって
　Ｃは
　Ａ、Ｂに割り切られる最小の数である。

• 　Ｃ;最小公倍数(Ａ,Ｂ)
  となっている。

次に
　Ａ、Ｂが互いに素でない
とし、

• 場合分け（２）である。

　Ａ、Ｂと同じ比をもつ２数のうち
　最小であるＦ、Ｅがとられた
とせよ。
　　　　　　[......(ｃ)]

• 　命題７ー２２の補足(構成.２数の比の最小数)
  による。
• 　(Ｆ：Ｅ);＝Ａ：Ｂ、(最小の数の比)
  としている。

そうすれば
　Ａ、Ｅの積は
　Ｂ、Ｆの積に等しい。

• 命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
• 　Ａ×Ｅ＝Ｂ×Ｆ
  となっている。

そして
　ＡがＥにかけてＣをつくる
とせよ。
　　　　　　[......(ｄ)]

• 　数Ｃ(;;＝Ａ×Ｅ)
  となっている。

そうすれば
　ＢもＦにかけてＣをつくった
ことになる。

• 　前々節の結果による。
  　Ｂ×Ｆ＝Ｃ
  となっている。

したがって
　Ａ、ＢはＣを割り切る。

• 命題７ー１６（積の可換性）、
  命題の補足３（定義７ー１６）（かけられた数が積を割り切る）
  による。
• 　(Ａ、Ｂ)｜Ｃ
  となっている。

また
　最小でもある
と主張する。

もし
　最小でない
ならば、

• 背理法の仮定を述べようとしている。

　Ａ、Ｂは
　Ｃより小さい
　何らかの数を割り切る
であろう。

　Ｄを割り切る
とせよ。
　　　　　　[......(ｅ)]

• 背理法の仮定である。
• 　数Ｄ;(Ａ、Ｂ)｜Ｄ、＜Ｃ
  となっている。

そして
　Ａが
　Ｄを割った商に等しい
　個数の単位が
　Ｇのなかにある
とし、
　Ｂが
　Ｄを割った商に等しい
　個数の単位が
　Ｈのなかにある
とせよ。

• 　数Ｇ(;;商(Ｄ,Ａ)＝個数(Ｇ,単位))、
  　数Ｈ(;;商(Ｄ,Ｂ)＝個数(Ｈ,単位))
  をとっている。

そうすれば
　ＡはＧにかけてＤをつくり、
　ＢはＨにかけてＤをつくった。
　　　　　　[......(３)]

• 命題７ー１５（割る数と商のいれかえ）
  による。
• 　Ｄ;＝Ａ×Ｇ、
  　Ｄ;＝Ｂ×Ｈ
  となっている。

ゆえに
　Ａ、Ｇの積は
　Ｂ、Ｈの積に等しい。

• 公理の補足２（命題７ー４） （約数・等分(倍数)での代入の原理）
  による。
• 　Ａ×Ｇ＝Ｂ×Ｈ
  となっている。

したがって
　ＡがＢに対するように、
　ＨがＧに対する。

• 命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｈ：Ｇ
  となっている。

ところが
　ＡがＢに対するように、
　ＦがＥに対する。

• （ｃ）による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｆ：Ｅ
  となっている。

それゆえ
　ＦがＥに対するように、
　ＨがＧに対する。

• 命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ｆ：Ｅ＝Ｈ：Ｇ
  となっている。

ところが
　Ｆ、Ｅは最小であり、
　最小である数は
　同じ比をもつ数を、
　大きい数が大きい数を、
　小さい数が小さい数を割り切り、
　その商は等しい。

• 命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）、
  命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  による。
• 　(Ｆ：Ｅ);＝Ｈ：Ｇ、(最小の数の比)、
  　商(Ｈ,Ｅ)＝商(Ｇ,Ｅ)
  となっている。

ゆえに
　ＥはＧを割り切る。
　　　　　　[......(４)]

• 　Ｅ｜Ｇ
  となっている。

そして
　ＡはＥ、Ｇにかけて
　Ｃ、Ｄをつくった

• （ｄ）、 （３）による。
• 　Ａ×(Ｅ、Ｇ)＝(Ｃ、Ｄ)
  となっている。

から、
　ＥがＧに対するように、
　ＣがＤに対する。

• 命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
• 　Ｅ：Ｇ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。

ところが
　ＥはＧを割り切る。

• （４）による。
• 　Ｅ｜Ｇ
  となっている。

したがって
　ＣもＤを割り切る、

• 前々節の結果、
  定義７−２１（比例）
  による。
• 　Ｃ｜Ｄ
  となっている。

すなわち
　大きい数が小さい数を割り切る。

• （ｅ）により、
  Ｃ＞Ｄとなっている。

　これは不可能である。

• 背理法による。

それゆえ
　Ａ、Ｂは
　Ｃより小さいいかなる数をも
　割り切らない
であろう。

• 　(Ａ、Ｂ);¬｜(Ｘ;＜Ｃ)
  となっている。

よって
　Ｃは
　Ａ、Ｂに割り切られる最小の数である。

• 　Ｃ;(Ａ、Ｂ)｜Ｃ、(最小)
  となっている。

［Ａ、Ｂについて
　２つの場合の結果により
　ともに
　２数に割り切られる最小数を
　見いだすことができる。］
　これが証明すべきことであった。

• 「互いに素による場合分け」は、
  　コメント４(命題７ー３）
  　参照のこと。
• 命題７ー３４は、
  　数Ａ、Ｂ
  について、
  　Ａ;(互いに素)Ｂ
  ならば
  　数Ｃ(;;＝Ａ×Ｂ)
  をとり、
  　Ａ;¬(互いに素)Ｂ
  ならば
  　最小数比(Ｆ：Ｅ)(;;＝Ａ：Ｂ)、
  　数Ｃ(;;＝Ａ×Ｅ)
  をとれば、
  　Ｃ;最小公倍数(Ａ,Ｂ)
  のことである。
  
• 命題７ー３４は構成用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-21
  公準
  公理		補2(題7-4)
  命題	7-22補	5-11,7-15,7-16,7-17,7-19,7-20,7-21,補3(義7-16)
  その他	コ4(題7-1)	場合分け、背理法,コ4(題7-3)

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