ユークリッド原論をどう読むか（５）
頁末
前
次
目次
ユークリッド原論
第２巻
命題２ー２（全体とその分割部分との矩形）
「どちらかに」
もし
線分が
任意に２分されるならば、
全体と
分けられた部分のおのおのとに
かこまれた矩形の和は
全体の上の正方形に
等しい。
線分ＡＢが
点Ｃにおいて任意に分けられたとせよ。
ＡＢ、ＢＣにかこまれた矩形と
ＢＡ、ＡＣにかこまれた矩形との
和は
ＡＢ上の正方形に等しい
と主張する。
ＡＢ上に
正方形ＡＤＥＢが描かれ、
Ｃを通り
ＡＤ、ＢＥのどちらかに平行に
ＣＦがひかれたとせよ。
- 命題１ー３１による。
ＡＤとＢＥは
定義１ー２２により、
ＡＢについて
同側内角の和が２直角であり、
命題１ー２８により
平行である。
ＣＦが
どちらに平行にひかれても、
命題１ー３０により
他方とも平行である。
- 「どちらかに平行に」という表現は、
具体的な作図においては
どれか１つについて平行となるように
作業するという意味である。
以下、コメント（命題２ー２）(どちらかに)という。
そうすれば
［正方形］ＡＥは
［矩形］ＡＦ、ＣＥの和に等しい。
- 公理１ー７による。
- 矩形ＡＦという表現は、
ＡとＦが対角となっている矩形に用いる。
矩形ＤＡ、ＡＣという表現と、
ＤＡ、ＡＣにかこまれた矩形
という表現に区別はない。
また
矩形ＤＡ、ＡＣと
矩形ＣＡ、ＡＤとを
特に区別はしていない。
原論においては
裏返しも含めて
動かして重ねるという考え方が
根底にあるので、
このようになるのも当然である。
-
sq(ＡＥ)=rec(ＡＦ)+rec(ＣＥ)
[･･････(１)]
そして
ＡＥはＡＢ上の正方形であり、
- 作図の設定である。
-
sq(ＡＥ)＝sq(_ＡＢ)
[･･････(２)]
ＡＦは
ＢＡ、ＡＣにかこまれた矩形である。
なぜなら
ＡＦはＤＡ、ＡＣにかこまれ、
ＡＤはＡＢに等しいから。
また
ＣＥは矩形ＡＢ、ＢＣである。
なぜなら
ＢＥはＡＢに等しいから。
それゆえ
矩形ＢＡ、ＡＣと
矩形ＡＢ、ＢＣの和は
ＡＢ上の正方形に等しい。
よって
もし
線分が
任意に２分されるならば、
全体と
分けられた部分のおのおのとに
かこまれた矩形の和は
全体の上の正方形に等しい。
これが証明すべきことであった。
- 原典に示してある作図が
描かれた時点で
原典にある証明は
実質的に終わっている。
後は
長方形の面積を確認するだけであるから。
むしろ
証明された命題を前提として、
以後の命題を証明するというのが
原論の本来の精神ではなかろうか。
第２巻は、
いくぶん異なった趣である。
- 命題２ー１を前提とするなら、
次のように証明することもできる。
ＡＢ上の正方形は、
定義２ー１により矩形ＡＢ、ＡＢである。
-
sq(_ＡＢ)＝rec(ＡＢ、ＡＢ)
[･･････(５)]
矩形ＡＢ、ＡＢは、
命題２ー１により矩形ＡＢ、ＡＣと
矩形ＡＢ、ＣＢとの和に等しい。
-
rec(ＡＢ、ＡＢ)＝rec(ＡＢ、ＡＣ)＋rec(ＡＢ、ＣＢ)
[･･････(６)]
よって、
ＡＢ上の正方形は、
公理１ー１により
矩形ＡＢ、ＡＣと矩形ＡＢ、ＣＢとの和に等しい。
- (５)
(６)
により AB^2=AB*AC+AB*CB
- 命題2-2は第２巻の命題によると次のようになる。
- 命題2-2は、
ＡＢ；線分
Ｃ；点（ＡＢ）
において、
rec(ＡＢ、ＡＣ)＋rec(ＡＢ、ＣＢ)
＝sq(_ＡＢ)
のことである。
- 命題2-2は推論用命題である。
前
次
目次
頁頭