ユークリッド原論をどう読むか(16)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー106
(中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺と長さ通約の線分は中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺)
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
と
通約
できる
線分
は
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
である。
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺は、
定義の補足(命題10ー77)
による。
通約は、
定義10ー1
による。
線分は、
定義の補足(命題1ー1)
による。
ABを
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
とし,
CDを
ABと
通約
できるようにせよ。
命題10ー34
(作図.2線分;平方で非通約、平方和が中項面積、矩形が有理面積)
により、
2線分をとり、
大きい方をAE、
小さい方をBX
とし、
命題1ー3
(作図・等しい線分を切り取る)
により、
B’(AE;B’E=BX)
をとり、
改めて、
B’をB
とし、
命題10ー6の系
(作図.線分で数:数となる線分)
による
AE¬∩^2 BE、
正方(_AE)+正方(_BE);中項面積
矩形(AE、BE);有理面積
AE>BE
AB∩CD
となっている。
CDも
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
である
と主張する。
BEをABへの付加
とせよ。
そうすれば
AE,EBは
平方において通約
できず
AE,EB上の
正方形
の和を
中項面積
とし,
それらによって
かこま
れる
矩形
を
有理面積
とする。
命題の設定
による。
AE¬∩^2 BE、
正方(_AE)+正方(_BE);中項面積
矩形(AE、BE);有理面積
AE>BE
となっている。
同じ作図が
なされた
とせよ。
命題10ー105と同じ作図ということで、
「ABが
CDに対するように,
BEが
DFに
対するようにされた
とせよ。」
ということである。
前節、
命題6ー12
(作図.比例第4項)
による。
AB;中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺、
AE¬∩^^2 EB
正方(_AE)+正方(_BE);中項面積
矩形(AE、EB);有理面積
CD∩AB
AB:CD=BE:DF
となっている。
[......(1)]
そうすれば
前と同様に
して
CF,FDは
AE,EBと同じ
比
を
なし,
AE,EB上の
正方形
の和は
CF,FD上の
正方形
の和と,
矩形
AE,EBは
矩形
CF,FDと
通約
できる
ことを証明しうる。
前命題10ー106と同様に
ということである。
内容的には
以下のとおりである。
そうすれば
AE,EBは
平方において通約
できない
から,
CF,FDも
平方において通約
できない。
[......(4)]
(1)
命題5ー16
(比例すれば錯比も比例)、
により、
AB:BE=CD:DF
となり、
命題5ー18
(比例ならば合比も比例)
により、
AE:BE=CF:DF
となり、
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
CF¬∩^2 FD
となっている。
そこで
AEが
EBに
対す
るように,
CFが
FDに
対す
る
[......(2)]
前節、
による。
AE:EB=CF:FD
となっている。
から,
AE上の
正方形
が
EB上の
正方形
に
対す
るように,
CF上の
正方形
が
FD上の
正方形
に
対す
る。
[......(5)]
前節、
命題6ー22
(4線分とその上の相似直線図形の比例)
による。
正方(_AE):正方(_EB)=正方(_CF):正方(_FD)
となっている。
したがって
合比
により
AE,EB上の
正方形
の和が
EB上の
正方形
に
対す
るように,
CF,FD上の
正方形
の和が
FD上の
正方形
に
対す
る。
前節、
命題5ー18
(比例ならば合比も比例)
による。
正方(_AE)+正方(_EB):正方(_EB)
=正方(_CF)+正方(_FD):正方(_FD)
となっている。
ところが
BE上の
正方形
は
DF上の
正方形
と
通約
できる。
[......(3)]
(1)
、
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
命題10ー9の系2
(長さで通約なら平方で通約) による。
正方(_BE)∩正方(_DF)
となっている。
したがって
AE,EB上の
正方形
の和も
CF,FD上の
正方形
の和と
通約
できる。
[......(6)]
前節、前々節、
命題10ー11の補足
(4項比例で前項通約なら後項通約)
による。
正方(_AE)+正方(_EB)∩正方(_CF)+正方(_FD)
となっている。
また
AE上の
正方形
が
矩形
AE,EBに
対す
るように,
CF上の
正方形
が
矩形
CF,FDに
対し,
AE上の
正方形
は
CF上の
正方形
と
通約
できる
(2)
、
命題10ー22助
(2線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例)、
(3)
(5)
、
命題10−11の補足
(4項比例で前項通約なら後項通約)
による。
正方(_AE):矩形(AE、EB)
=正方(_CF):矩形(CF、FD)、
正方(_AE)∩正方(_CF)
となっている。
から,
矩形
AE,EBも
矩形
CF,FDと
通約
できる。
前節、
命題10−11の補足
(4項比例で前項通約なら後項通約)
による。
矩形(AE、EB)∩矩形(CF、FD)
となっている。
矩形(AE、EB)∩矩形(CF、FD)
となっている。
したがって
CF,FDも
平方において通約
できず,
CF,FD上の
正方形
の和を
中項面積
とし,
それらによって
かこま
れる
矩形
を
有理面積
とする。
前節、
(4)
(6)
命題10ー23の系
(中項面積と通約なら中項面積)
定義10ー4の補足
(有理面積、無理面積)
による。
CF¬∩^2 FD、
正方(_CF)+正方(_FD);中項面積、
矩形(CF、FD);有理面積
となっている。
よって
CDは
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
である。
前節
定義の補足(命題10ー77)
(中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺)
による。
CD;中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
CF¬∩^2 FD、
正方(_CF)+正方(_FD);中項面積、
矩形(CF、FD);有理面積
となっている。
これが証明すべきことであった。
命題10ー106
は、
命題10ー34
(作図.2線分;平方で非通約、平方和が中項面積、矩形が有理面積)
命題10ー6の系
(作図.線分で数:数となる線分)
により、
2線分AE、EB
AE¬∩^2 BE、
正方(_AE)+正方(_BE);中項面積
矩形(AE、BE);有理面積
AE>BE
AB∩CD
をとり、
命題6ー12
(作図.比例第4項)
により、
AB:CD=BE:DF
をとれば、
CD;中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
CF¬∩^2 FD、
正方(_CF)+正方(_FD);中項面積、
矩形(CF、FD);有理面積
のことである。
命題10ー106
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
補(題10-77)
公準
公理
命題
1-3
,
6-12
,
10-6系
,
10-34
5-16
,
5-18
,
6-22
,
10-4補
,
10-9系2
,
10-11
,
10-11補
,
10-22助
,
10-23系
その他
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