ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１０５（劣線分と長さ通約の線分は劣線分）
　　劣線分と通約
　　　できる
　線分は
　　劣線分
　　　である。

• 劣線分は、
  定義の補足（命題１０ー７６）による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。

　　ＡＢを劣線分
　　　とし，
　　ＣＤをＡＢと通約
　　　できるようにせよ。

• 　命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
  により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＥ、
  　　　小さい方をＢＸ
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　　　Ｂ’（ＡＥ；Ｂ’Ｅ＝ＢＸ）
  　　をとり、
  　　　改めて、
  　　　Ｂ’をＢ
  とし、
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  による。
• 　ＡＥ¬∩^2 ＢＥ、
  　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)；有理面積
  　矩形(ＡＥ、ＢＥ)；中項面積
  　ＡＥ＞ＢＥ
  　ＡＢ∩ＣＤ
  となっている。

　ＣＤも
　　劣線分
　　　である
と主張する。

　同じ作図が
　　　なされた
とせよ。

• 前命題１０ー１０５と同じ作図ということで、
  　「ＡＢが
  　　ＣＤに対するように，
  　ＢＥが
  　　ＤＦに
  　　　対するようにされた
  とせよ。」
  ということである。
  
  　前節、
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  による。
• 　ＡＢ；劣線分、
  　　ＡＥ、ＥＢ；中項線分
  　　ＡＥ¬∩^^2 ＥＢ
  　　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)；有理面積
  　　矩形(ＡＥ、ＥＢ)；中項面積
  　ＣＤ∩ＡＢ
  　ＡＢ：ＣＤ＝ＢＥ：ＤＦ
  となっている。 　　　　[......(１)]
  

そうすれば
　ＡＥ，ＥＢは
　　平方において通約
　　　できない
から，
　ＣＦ，ＦＤも
　　平方において通約
　　　できない。
　　　　[......(４)]

• 　命題の設定
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＣＦ¬∩^2 ＦＤ
  となっている。

そこで
　ＡＥが
　　ＥＢに対するように，
　ＣＦが
　　ＦＤに
　　　対する
　　　　[......(２)]

• 　（１）
  　命題５ー１８（比例ならば合比も比例）
  による。
• 　ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ
  による。

から，
　ＡＥ上の正方形が
　　ＥＢ上の正方形に対するように，
　ＣＦ上の正方形が
　　ＦＤ上の正方形に
　　　対する。

• 　前節、
  　命題６ー２２（４線分とその上の相似直線図形の比例）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)：正方(_ＥＢ)＝正方(_ＣＦ)：正方(_ＦＤ)
  となっている。

したがって
　　合比により
　ＡＥ，ＥＢ上の正方形の和が
　　ＥＢ上の正方形に対するように，
　ＣＦ，ＦＤ上の正方形の和が
　　ＦＤ上の正方形に
　　　対する。

• 　前節、
  　命題５ー１８（比例ならば合比も比例）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)：正方(_ＥＢ)
  　　＝正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)：正方(_ＦＤ)
  となっている。

ところが
　ＢＥ上の正方形は
　　ＤＦ上の正方形と通約
　　　できる。
　　　　[......(３)]

• 　（１）、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  　命題１０ー９の系２ (長さで通約なら平方で通約) による。
• 　正方(_ＢＥ)∩正方(_ＤＦ)
  となっている。

したがって
　ＡＥ,ＥＢ上の正方形の和も
　　ＣＦ，ＦＤ上の正方形の和と通約
　　　できる。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)∩正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)
  となっている。

ところが
　ＡＥ，ＥＢ上の正方形の和は
　　有理面積
　　　である。

• 　（１）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)；有理面積
  となっている。

したがって
　ＣＦ，ＦＤ上の正方形の和も
　　有理面積
　　　　である。
　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)；有理面積
  となっている。

また
　ＡＥ上の正方形が
　　矩形ＡＥ,ＥＢに対するように，
　ＣＦ上の正方形が
　　矩形ＣＦ，ＦＤに
　　　対し，
　ＡＥ上の正方形は
　　ＣＦ上の正方形と通約
　　　できる

• 　（１）、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）、
  　（２） （３）、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)：矩形(ＡＥ、ＥＢ)
  　　＝正方(_ＣＦ)：矩形(ＣＦ、ＦＤ)、
  　正方(_ＡＥ)∩正方(_ＣＦ)
  となっている。

から，
　矩形ＡＥ,ＥＢも
　　矩形ＣＦ，ＦＤと通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　矩形(ＡＥ、ＥＢ)∩矩形(ＣＦ、ＦＤ)
  となっている。

ところが
　矩形ＡＥ,ＥＢは
　　中項面積
　　　である。

• 　命題の設定
  による。
• 　矩形(ＡＥ、ＥＢ)；中項面積
  となっている。

それゆえ
　矩形ＣＦ，ＦＤも
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形(ＣＦ、ＦＤ)；中項面積
  となっている。

したがって
　ＣＦ，ＦＤは
　　平方において通約
　　　できず，
　　それらの上の正方形の和を
　　有理面積
　　　とし，
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形を中項面積
　　　とする。

• 　前節、 （４） （５）
  による。
• 　ＣＦ¬∩^2 ＦＤ、
  　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)；有理面積、
  　矩形(ＣＦ、ＦＤ)；中項面積
  となっている。

よって
　ＣＤは
　　劣線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー７６）(劣線分)
  による。
• 　ＣＤ；劣線分
  　　ＣＦ¬∩^2 ＦＤ、
  　　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)；有理面積、
  　　矩形(ＣＦ、ＦＤ)；中項面積
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー１０５は、
  　命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
  により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＥ、
  　　　小さい方をＢＸ
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　ＡＥ¬∩^2 ＢＥ、
  　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＢＥ)；有理面積
  　矩形(ＡＥ、ＢＥ)；中項面積
  　ＡＥ＞ＢＥ
  をとり、
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  により、
  　通約可能な線分ＣＤ
  をとると、
  　ＡＢ∩ＣＤ
  となり、
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  　ＡＢ：ＣＤ＝ＢＥ：ＤＦ
  とすると、
  　ＣＤ；劣線分
  　　ＣＦ¬∩^2 ＦＤ、
  　　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)；有理面積、
  　　矩形(ＣＦ、ＦＤ)；中項面積
  のことである。
• 命題１０ー１０５は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		補(題10-76)
  公準
  公理
  命題	1-3,6-12,10-6系,10-33	5-16,5-18,6-22,10-4補,10-9系2,10-11,10-22助,10-23系
  その他

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