ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー４７（中項面積の和に等しい正方形の辺の分割は１通り）
　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺は
　　ただ一つの点で分けられる。

• 中項面積の和に等しい正方形の辺は、
  定義の補足（命題１０ー４１）による。
• 点は、
  定義１ー１による。

　ＡＢがＣで分けられ，
したがって
　ＡＣ，ＣＢが平方において通約できず，
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和を中項面積とし，
　矩形ＡＣ，ＣＢを中項面積で
　かつ
　それらの上の正方形の和と通約できないとする
とせよ。

• 　命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約）
  により、
  　線分ＡＣ、ＣＢ
  　　；ＡＣ¬∩^^2 ＣＢ
  　　　、正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；中項面積
  　　　、矩形(ＡＣ,ＣＢ)；中項面積
  　　　、正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)¬∩矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  　線分ＡＢ；ＡＣ＋ＣＢ
  をとれば、
  　定義の補足（命題１０ー４１）(中項面積の和に等しい正方形の辺)
  による。
  
• 　線分ＡＣ；中項面積の和に等しい正方形の辺
  となっている。

　ＡＢは
　　与えられた条件を満たすように
　　他の点では分けられない
と主張する。

もし可能ならば，
　Ｄでも分けられ，
　したがって
　ＡＣは
　　もちろんＤＢと同じではなく，
　ＡＣのほうが大きい
と仮定されるとし，
　　　　　　[......(２)]

• 　背理法の仮定である。
  　コメント(命題１０ー４２助)(点対称点の除外)
  による。
• 　線分ＡＤ、ＤＢ
  　　；ＡＤ¬∩^^2 ＤＢ
  　　　、正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)；中項面積
  　　　、矩形(ＡＤ,ＤＢ)；中項面積
  　　　、正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)¬∩矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  　線分ＡＢ；ＡＤ＋ＤＢ
  　ＡＣ＞ＤＢ
  としている。

そして
　有理線分ＥＦが定められ，

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  による。
• 　ＥＦ；有理線分
  となっている。

　ＥＦ上にＡＣ，ＣＢ上の正方形の和に等しく，
　　ＥＧがつくられ，
　　　　　　[......(１)]

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  を繰り返すによる。
• 　矩形(ＥＦ,ＦＧ)＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  となっている。

　矩形ＡＣ，ＣＢの２倍に等しくＨＫがつくられた

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  を繰り返すによる。
• 　矩形(ＥＦ,ＧＫ)＝２矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  となっている。

とせよ。
そうすれば
　ＥＫ全体は
　　ＡＢ上の正方形に等しい。

• 　前節、前々節、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）　
  による。
• 　矩形(ＥＫ)＝正方(_ＡＢ)
  となっている。

　また
　ＥＦ上にＡＤ，ＤＢ上の正方形の和
　　に等しくＥＬがつくられた
とせよ。

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  を繰り返すによる。
• 　矩形(ＥＦ,ＦＬ)＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)
  となっている。

そうすれぱ
　＜＜残りの＞＞矩形ＡＤ，ＤＢの２倍は
　　残りのＭＫに等しい。

• 　前節、前々節、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）　
  による。 　
• 　矩形(ＭＫ)＝２矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  となっている。

　そして
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和は
　　中項面積であると仮定される

• 　命題の設定による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；中項面積
  となっている。

から，
　ＥＧも中項面積である。

• 　前節、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形(ＥＧ)；中項面積
  となっている。

そして
　有理線分ＥＦ上につくられている。

• 　（１）による。
• 　矩形(ＥＦ,ＦＧ)＝矩形(ＥＧ)
  となっている。

したがって
　ＨＥは
　　有理線分であり，
　　ＥＦと長さにおいて通約できない。
　　　　　[......(３)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
  
• 　ＨＥ；有理線分
  　　、ＨＥ¬∩ＥＦ
  となっている。

同じ理由で
　ＨＮも有理線分であり，
　　ＥＦと長さにおいて通約できない。

• 　前節による。
• 　ＨＮ；有理線分
  　　、ＨＮ¬∩ＥＦ
  となっている。 　

そして
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和は
　　矩形ＡＣ，ＣＢの２倍と通約できない

• 　命題の設定による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)¬∩２矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  となっている。

から，
　ＥＧもＧＮと通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　矩形(ＥＧ)¬∩矩形(ＧＮ)
  となっている。

したがって
　ＥＨは
　　ＨＮと通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＥＨ¬∩ＨＮ
  となっている。

　そして
　有理線分である。

• 　（３）による。
  
• 　ＨＥ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＥＨ，ＨＮは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＥＨ∩^^2ＨＮ
  となっている。

ゆえに
　ＥＮは
　　Ｈで分けられた二項線分である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＥＮ；二項線分
  　　、Ｈ；分割点(ＥＮ)
  となっている。

同様にして
　Ｍでも分けられることを証明しうる。

• 　背理法の仮定による。
• 　ＥＮ；二項線分
  　　、Ｍ；分割点(ＥＮ)
  となっている。

そして
　［ＨとＮは異なる点であり、
　かつ、］
　ＥＨはＭＮと同じでない。

• 　（２）、
  　命題１０ー４２助（不等分割線分上の正方形の和は大きい部分が大きい方が大）
  により、
  　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＞正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ) となり、
  　矩形(ＥＦ,ＥＨ)＞矩形(ＥＦ,ＥＭ)
  となり、
  　ＨとＭは異なる。
  さらに、
  　命題２ー７（差の平方）
  により、
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＞２矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  となり、
  　公理１ー８の補足３（大きい・小さいものより大きい・小さい）
  により、
  　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＞２矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  したがって、
  　公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  により、
  　矩形(ＥＦ,ＥＨ)＞矩形(ＥＦ,ＥＭ)
  となり、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  により、
  　ＥＨ：ＭＮ＝矩形(ＥＦ,ＥＨ)：矩形(ＥＦ,ＥＭ)
  となり、
  　定義５ー５（同じ比）
  による。
  
• 　ＥＨ＞ＭＮ
  となっている。

したがって
　二項線分が異なった２点で分けられた。

• 　ＡＢの中点の対称点となる２点の場合は、
  　本質的に同じ分割点と見なせる。
  　この場合とは異なる、
  　本質的に別の分割点が
  　　存在することになるが、
  　これは、
  　　命題１０ー４２（二項線分の分割は１通り）
  によりあり得ず、
  　矛盾が生じた。

これは不合理である。
したがって
　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺は
　　異なった２点で分けられない。

• 　背理法による。
• 　中項面積の和に等しい正方形の辺
  　　の分割点は１通り
  となっている。

よって
　ただ一つの点で分けられる。

• 命題１０ー４７は、
  　命題１０ー３５
  により、
  　線分ＡＣ、ＣＢ
  　　；ＡＣ¬∩^^2 ＣＢ
  　　　、正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；中項面積
  　　　、矩形(ＡＣ,ＣＢ)；中項面積
  　　　、正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)¬∩矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  　線分ＡＢ；ＡＣ＋ＣＢ
  をとれば、
  　中項面積の和に等しい正方形
  　　の辺ＡＢの分割点は１通り
  のことである。
  
• 命題１０ー４７は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		5-5,10-3補,補(題10-36),補(題10-41)
  公準
  公理		1-8補2,1-8補3
  命題	6-16補3,補2(義10-3),10-35	2-4,2-7,6-1,10-11,10-13,10-22,10-23系,10-42助
  その他		コ(題10-42助),背理法

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