ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー２９助ｂ（作図.和が平方数でない２平方数）

　補助定理II

　和が平方数でない
　２つの平方数を見いだすこと。

• 平方数は、
  定義１０ー１９による。

　先に述べたように
　ＡＢ、ＢＣの積が平方数、
　ＣＡが偶数であるとし、
　ＣＡがＤにおいて２等分された
とせよ。

• 　先に述べたようには、
  　補助定理１で述べたことを
  　うけている。
• 「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　ＡＢ×ＢＣ；平方数
  　ＣＡ；偶数
  　Ｄ；ＣＡの中点
  となっている。

そうすれば
　ＡＢ、ＢＣの積である平方数と
　ＣＤの平方数の和は
　ＢＤの平方数に等しい
ことは明らかである。

• 　前節、
  　命題１０ー２９助ａ（和も平方数である２平方数）
  による。
• 　ＡＢ×ＢＣ＝Ｋ^2
  　Ｋ^2＋ＣＤ^2＝ＢＤ^2
  となっている。

　単位ＤＥがひかれた
とせよ。

• 　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  による。
  
• 　ＣＥを考える
  ということである。
  

そうすれば
　ＡＢ、ＢＣの積とＣＥの平方数の和は
　ＢＤの平方数より小さい。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　公理１ー４の補足２（不等なものから等しいものをひく）
  による。
• 　ＡＢ×ＢＣ＝Ｋ^2
  　Ｋ^2＋ＣＥ^2＜ＢＤ^2
  となっている。 　

そこで
　ＡＢ、ＢＣの積である平方数と
　ＣＥの平方数の和は平方数でない
であろうと主張する。

もし
　平方数である
ならば、

• 　背理法の仮定を述べようとしている。

　単位が分けられることがない
ためには、
　それはＢＥの平方数に等しいか
　または
　ＢＥの平方数より小さいかであり、
　大きくはあり得ない。

• 　（１）、
  　命題８ー１１（平方数の比、比例中項、辺の比の２乗）
  による。　

もし可能ならば、

• 　「もし可能ならば」は、
  　コメント２(命題１−７）
  　参照のこと。

[ＡＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和が
　ＢＥの平方数に等しい場合と
　ＢＥの平方数より小さい平方数の場合
　がある］
　まずＡＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和が
　ＢＥの平方数に等しい
とし、

• 　場合分けの１である。
• 　ＡＢ×ＢＣ＋ＣＥ^2＝ＢＥ^2
  としている。

　ＧＡが単位ＤＥの２倍である
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により、
  　ＡＢ上にＧ’、Ｇを
  　ＡＧ'＝Ｇ'Ｇ
  となるようにとる。
• 　ＧＡ＝２×ＤＥ
  となっている。

そうすれば
　ＡＣ全体は
　ＣＤ全体の２倍であり、

• 　命題の設定による。
• 　ＡＣ＝２×ＣＤ
  となっている。

そのうち
　ＡＧはＤＥの２倍である

• 　（ａ）による。
• 　ＡＧ＝２×ＤＥ
  となっている。

から、
　残りのＧＣも
　残りのＥＣの２倍である。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー５（同数倍の差１）
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　ＧＣ＝ＡＣーＡＧ
  　＝２×ＤＣー２×ＤＥ
  　＝２×（ＤＣーＤＥ）
  　＝２×ＥＣ
  となっている。

したがって
　ＧＣはＥで２等分された。

• 　前節、
  　定義の補足２（公理１ー６）（ｎ等分・ｎ分の１）
  による。
• 　ＧＥ＝ＥＣ
  となっている。

したがって
　ＧＢ、ＢＣの積とＣＥの平方数の和は
　ＢＥの平方数に等しい。

• 　前節、
  　命題２ー５（和と差の積は平方の差１）
  による。
• 　ＧＢ×ＢＣ＋ＣＥ^2＝ＢＥ^2
  となっている。

ところが
　ＡＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和も
　ＢＥの平方数に等しい
ことが仮定される。

• 　場合分けの１の仮定による。
• 　ＡＢ×ＢＣ＋ＣＥ^2＝ＢＥ^2
  となっている。

したがって
　ＧＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和は
　ＡＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和に等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　ＧＢ×ＢＣ＋ＣＥ^2＝ＡＢ×ＢＣ＋ＣＥ^2
  　＝ＢＥ^2
  となっている。

そして
　双方からＣＥの平方数がひかれる
と、
　ＡＢはＧＢに等しくなる。

• 　前節、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  により、
  　ＧＢ×ＢＣ＝ＡＢ×ＢＣ
  となり、
  　公理の補足５（定義５ー１）（等を等で割る）
  による。
• 　ＧＢ＝ＡＢ
  となっている。

　これは不合理である。

• 　（ａ）により、
  　ＧＢ＋ＧＡ＝ＡＢ、
  　ＧＡ＝２×ＤＥ
  となっているが、
  　前節では、
  　ＧＢ＝ＡＢ
  となっている。

したがって
　ＡＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和は
　ＢＥの平方数に等しくない。

• 　場合分けの１は、
  　背理法により、
  　あり得ない
  ということである。
  

次に
　［ＡＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和が
　ＢＥの平方数より小さい平方数の場合、］
　《ＢＥの平方数より小さくもない
と主張する。》

• 　場合分けの２である。

もし可能ならば
　［ＡＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和が］
　ＢＦの平方数に等しい
とし、

• 　第２段階の背理法の仮定を
  　述べようとしている。
• 　「もし可能ならば」は、
  　コメント２(命題１−７）
  　参照のこと。
• 　ＡＢ×ＢＣ＋ＣＥ^2＝ＢＦ^2
  　Ｆ；ＣＥ上
  となっていて、
  　ＦはＢＣ上にはない。
  なぜなら、
  　以下の通りである。
  　背理法の仮定として、
  　ＦがＢＣ上にある
  ならば、
  　ＡＢ、ＢＣ＞ＢＦ
  となっており、
  　公理の補足９（定義７ー１６）(大きい(小さい)数の積は大きい(小さい)
  により、
  　ＡＢ×ＢＣ＞ＢＦ^2
  となるから、
  　ＡＢ×ＢＣ＋ＣＥ^2＝ＢＦ^2
  と矛盾する。
  

　ＨＡをＤＦの２倍
とせよ。

• 　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により、
  　ＡＨ'＝ＤＦ、
  　Ｈ'Ｈ＝ＤＦ
  となるように
  　Ｈ'、Ｈをとる。
  
• 　ＡＨ＝２×ＤＦ
  となっている。

　ＨＣもＣＦの２倍
となるであろう。

• 　命題の設定
  により、
  　ＡＣ＝２×ＤＣ
  となっており、
  　前節、
  　命題５ー５（同数倍の差１）
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により、
  　ＨＣ＝ＡＣーＡＨ
  　＝２×ＤＣー２×ＤＦ
  　＝２×（ＤＣーＤＦ）
  　＝２×ＣＦ
  となる。
• 　ＨＣ＝２×ＣＦ
  となっている。

したがって
　ＣＨはＦにおいて２等分され、

• 　前節による。
• 　ＣＦ＝ＦＨ
  となっている。

それゆえ
　ＨＢ、ＢＣの積と
　ＦＣの平方数の和は
　ＢＦの平方数に等しい。

• 　前節、　
  　命題２ー５（和と差の積は平方の差１）
  による。
• 　ＨＢ×ＢＣ＋ＦＣ^2＝ＢＦ^2
  となっている。

ところが
　ＡＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和は
　ＢＦの平方数に等しい
ことが仮定される。

• 　第２段階の背理法の仮定による。
• 　ＡＢ×ＢＣ＋ＣＥ^2＝ＢＦ^2
  となっている。

したがって
　ＨＢ、ＢＣの積と
　ＣＦの平方数の和は
　ＡＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和に等しい
であろう。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　ＨＢ×ＢＣ＋ＦＣ^2
  　＝ＡＢ×ＢＣ＋ＣＥ^2
  となっている。

　これは不合理である。

• 　ＨＢ＜ＡＢ、
  　公理の補足６（定義７ー１６）(大きい(小さい)数をかけると大(小))
  により、
  　ＨＢ×ＢＣ＜ＡＢ×ＢＣ
  となり、
  　ＦＣ＜ＣＥ、
  　公理の補足９（定義７ー１６）(大きい(小さい)数の積は大きい(小さい))
  により、
  　ＦＣ^2＜ＣＥ^2
  となり、
  　公理１ー４の補足３（大きい（小さい）ものどうしを加える）
  により、
  　ＨＢ×ＢＣ＋ＦＣ^2
  　＜ＡＢ×ＢＣ＋ＣＥ^2
  となって矛盾するから。
  

したがって
　ＡＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和は
　ＢＥの平方数より
　小さいものに等しくはない。

• 　場合分けの２は、
  　背理法により、
  　ありえないということである。
• 　ＡＢ×ＢＣ＋ＣＥ^2＝ＢＦ^2
  　ＢＦ＜ＢＥ
  となる数ＢＦは存在しない。

そして
　ＢＥの平方数に等しくない
ことは先に証明された。

• 　場合の１である。

［２つの場合について証明され、］
したがって
　ＡＢ、ＢＣの積と
　ＣＥの平方数の和は平方数ではない。

　これが証明すべきことであった。

• 　振り返れば、
  　定義７ー１７（平面数）
  に基づき
  　命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)
  により、
  　平面数ＡＢをとり、
  　命題８ー２０の補足（作図.相似な平面数の辺）
  により、
  　ＡＢが偶数であれば偶数の
  　奇数であれば奇数の
  　ＡＢに相似な平面数ＢＣ'をとる。
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により
  　ＡＢ上にＣを、
  　ＢＣ＝ＢＣ'となるようにとると、
  　ＡＣは偶数であり、
  　命題６ー９（作図.線分のｎ分の１）
  により、
  　ＡＣの中点Ｄをとると、
  　ＡＤは数である。
  ここで、
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により、
  　単位ＤＥをＣＤ上にとり、
  　数ＣＥとする。
  また、
  　命題８ー１８（相似な平面数と比例中項数）
  により、
  　ＡＢ、ＢＣの比例中項数ＢＥをとる。
  そうすると、
  　ＢＥ^2＋ＣＥ^2は
  平方数とならない。
  すなわち、
  平面数ＡＢ上に
  　ＡＣが偶数となるように
  　相似な平面数ＢＣをとり、
  　ＡＣの中点Ｄをとって、
  　単位ＤＥをＣＤ上に
  とれば、
  　数ＣＥ、ＥＢについて、
  　ＥＢ^2＋ＣＤ^2は
  平方数とならない。
  
  
  
• 命題１０ー２９助２は、
  　Ａ、Ｂ：共に偶数か共に奇数、
  　　Ａ＝ｍ^2×Ｂ（相似な平面数）、
  　　Ａ＞Ｂ、
  ならば、
  　Ｃ：＝（ＡーＢ）／２、
  　Ｄ：＝Ｃー１　
  　Ｅ：比例中項（Ａ、Ｂ）
  とすると、
  　Ｄ^2＝（Ｃー１）^2＜＜＜
  　Ｅ^2＝Ａ×Ｂ＝（ｍ×Ｂ）^2　＜＜＜
  　Ｄ^2＋Ｅ^2：平方数でない
  のことである。
  
  
• 命題１０ー２９助２は作図・作図用命題である。

  前提	作図・作図	推論
  定義		補2(理1-6)
  公準
  公理		1-1,1-3,1-4補2,1-4補3,補5(義5-1),補6(義7-16),補8(義7-16)
  命題	1-3補,10-29助a	2-5,5-5,補8(義7-16),8-11
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題1-7), 場合分け, ２段階の背理法

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