ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー３３（構成.任意個の比例で最小数）
３数以上どうしの比例　
（３数以上どうしの比例での同じ倍数・等分(和)数）

　任意個の数が与えられた
とき、
　それらと同じ比をもつ
　最小の数を
　見いだす
こと。

• 数は、 定義７ー２による。
• 同じ比は、 定義５ー５による。
• 最小は、 定義の補足３（命題３ー７）による。

　Ａ、Ｂ[i]、Ｃを
　与えられた任意個の数
とせよ。

• 準一般的な証明である。
  コメント２（命題５ー１）参照のこと。
  準一般的な証明の一般化の方法は、
  コメント５（命題５ー１）参照のこと。
  
• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１）参照のこと。
  
• Ａ：Ｂと同じ比の最小数を
  見つける場合も含まれる。
• 　任意の数Ｂi
  をとっている。
  　数Ａ＝Ｂ1、
  　…
  　数Ｃ＝Ｂn
  となっている。

このとき
　Ａ、Ｂ[i]、Ｃと同じ比をもつ数のうち
　最小の数を見いださねばならぬ。

• 　Ａ、Ｂ[i]、Ｃと
  　Ｅ、Ｆ[i]、Ｇが
  　同じ比（３数以上）
  をもつ数である
  とは
  　Ａ：Ｂ2＝Ｅ：Ｆ2、
  　Ｂi：Ｂi+1＝Ｆi：Ｆi+1
  　Ｂn-1：Ｃ＝Ｆn-1：Ｇ
  　のことである。
  
  　このことを
  　Ａ：Ｂi：Ｃ＝Ｅ：Ｆi：Ｇ
  　と書く。
  (以下、定義の補足（命題７ー３３） （３数以上どうしの比例）という。)
  

　Ａ、Ｂ[i]、Ｃは
　互いに素である か
　ない か
　である。

• 場合分けである。
• 任意の個数の数が
  互いに素である
  は、
  定義７ー１３（互いに素）
  による。
• 　「互いに素による場合分け」は、
  　コメント４(命題７ー３）
  　参照のこと。

そこで
もし
　Ａ、Ｂ[i]、Ｃが
　互いに素である
ならば、

• 場合分け（１）である。
• 　　(Ａ、Ｂi、Ｃ);互いに素
  となっている。

　それらと同じ比をもつ数のうち
　最小である。

• 　Ａ：Ｂi：Ｃ＝Ｅ：Ｆi：Ｇ
  とするとき、
  　命題５ー１１の補足（同じ比は互いに同じ）、
  　命題７ー１３（比例４数はいれかえても比例）
  により、
  　Ｅ：Ａ＝Ｆ2：Ｂ2、Ｆi：Ｂi＝Ｆi+1：Ｂi+1
  　Ｆn-1：Ｂn-1＝Ｇ：Ｃ
  であるから、
  　定義７ー２１（比例）
  により、
  　ＥはＡの、ＦiはＢiの、ＧはＣの
  　同じ倍数か等分か等分和
  となり、
  　Ａ、Ｂ、Ｃが互いに素、
  　定義７ー１３（互いに素）
  により、
  　同じ等分、等分和であり得ない
  ので、
  　ＥはＡの、ＦiはＢiの、ＧはＣの
  　同じ倍数
  となり、
  　命題の補足（定義７ー３）（割り切る数は小さい）
  により
  　Ａ、Ｂi、Ｃが最小である
  とわかる。
  
• 　上の推論により、
  　次のようになる。
  　Ａ1：Ａ2：･･･：Ａm＝Ｂ1：Ｂ2：･･･：Ｂm
  とするとき、
  　Ａ1：Ａ2：･･･：Ａmは
  　Ｂ1：Ｂ2：･･･：Ｂmの
  　同じ倍数か等分か等分和である。
  
  (以下、命題７ー３３の補足２(３数以上どうしでの比例の同じ倍数・等分(和))という。)
  

ところが
もし
　［互いに］素でない
ならば、

• 場合分け（２）である。

　Ａ、Ｂ[i]、Ｃの最大公約数［Ｄ］がとられた
とし、

• 定義７ー１３（互いに素）、
  命題７ー３の補足３(構成.任意個の数の最大公約数・公約数)
  による。
• 　最大公約数Ｄ(Ａ、Ｂi、Ｃ)
  をとっている。

　ＤがＡ、Ｂ[i]、Ｃのおのおのを割った
　商に等しい個数の単位が
　Ｅ、Ｆ[i]、Ｇのおのおののなかにある
ようにせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　個数(Ｅ,単位)＝商(Ａ,Ｄ)、
  　個数(Ｆi,単位)＝商(Ｂi,Ｄ)、
  　個数(Ｇ,単位)＝商(Ｃ,Ｄ)
  となっている。

そうすれば
　Ｅ、Ｆ[i]、Ｇのおのおのが
　Ａ、Ｂ[i]、Ｃのおのおのを割った商は
　Ｄのなかにある単位の個数である。

• 命題７ー１５（割る数と商のいれかえ）
  による。
• 　商(Ａ,Ｅ);＝個数(Ｄ,単位)、
  　商(Ｂi,Ｆi);＝個数(Ｄ,単位)、
  　商(Ｃ,Ｇ);＝個数(Ｄ,単位)
  となっている。

ゆえに
　Ｅ、Ｆ[i]、ＧがＡ、Ｂ[i]、Ｃを割った商は
　等しい。

• 　商(Ａ,Ｅ)＝商(Ｂi,Ｆi)＝商(Ｃ,Ｇ)
  となっている。

したがって
　Ｅ、Ｆ[i]、Ｇは
　Ａ、Ｂ[i]、Ｃに対し同じ比をなす。

• 　(Ｅ：Ｆi：Ｇ);＝Ａ：Ｂi：Ｃ
  となっている。

次に
　最小でもある
と主張する。

なぜなら
もし
　Ｅ、Ｆ[i]、Ｇが
　Ａ、Ｂ[i]、Ｃと同じ比をもつ数のうち
　最小でない
ならば、

• 背理法の仮定を述べようとしている。

　Ａ、Ｂ[i]、Ｃと同じ比をなし、
　しかも
　Ｅ、Ｆ[i]、Ｇより小さい数がある
であろう。

　それをＨ、Ｋ[i]、Ｌ
とせよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

• 背理法の仮定である。
• Ａ：Ｂ[i]：Ｃ＝Ｈ：Ｋ[i]：Ｌ、Ｈ＜Ｅ
  となっている。

そうすれば
　ＨがＡを、
　Ｋ[i]、Ｌの双方が
　Ｂ[i]、Ｃの双方を割り切り、
　その商は等しい。

• 命題７ー３３の補足２(３数以上どうしの比例の同じ倍数・等分(和))
  による。
• 　商(Ａ,Ｈ)＝商(Ｂ[i],Ｋ[i])＝商(Ｃ,Ｌ)
  となっている。

そして
　ＨがＡを割った商に
　等しい個数の単位が
　Ｍのなかにあるようにせよ。
　　　　　　[......(ｃ)]

• 　商(Ａ,Ｈ)＝個数(Ｍ,単位)
  となっている。

そうすれば
　Ｋ、Ｌの双方が
　Ｂ、Ｃの双方を割った商は
　Ｍのなかにある単位の個数である。

• 前節、前々節による。
• 　商(Ｂ[i],Ｋ[i])＝個数(Ｍ,単位)、
  　商(Ｃ,Ｌ)＝個数(Ｍ,単位)
  となっている。

そして
　ＨがＡを割った商は
　Ｍのなかにある単位の個数であるから、
　ＭがＡを割った商も
　Ｈのなかにある単位の個数である。

• （ｃ）、
  命題７ー１５（割る数と商のいれかえ）
  による。
• 　商(Ａ,Ｍ)＝個数(Ｈ,単位)
  となっている。

同じ理由で
　ＭがＢ、Ｃの双方を割った商も
　Ｋ、Ｌの双方のなかにある単位の個数である。

• 　商(Ｂ[i],Ｍ)＝個数(Ｋ[i],単位)、
  　商(Ｃ,Ｍ)＝個数(Ｌ,単位)
  となっている。

したがって
　ＭはＡ、Ｂ[i]、Ｃを割り切る。
　　　　　　[......(１)]

• 　Ｍ｜(Ａ,Ｂ[i],Ｃ)
  となっている。

そして
　ＨがＡを割った商は
　Ｍのなかにある単位の個数である

• 　商(Ａ,Ｈ)＝個数(Ｍ,単位)
  となっている。

から、
　ＨはＭにかけてＡをつくった。

• 定義７ー１６（かける）
  による。
• 　Ｈ×Ｍ＝Ａ
  となっている。

同じ理由で
　ＥもＤにかけてＡをつくった。

• （ａ）による。
• 　Ｅ×Ｄ＝Ａ
  となっている。

それゆえ
　Ｅ、Ｄの積はＨ、Ｍの積に等しい。

• 前節、前々節、
  公理の補足２（命題７ー４）（約数・等分(倍数)での代入の原理）
  による。
• 　Ｅ×Ｄ＝Ｈ×Ｍ
  となっている。

ゆえに
　ＥがＨに対するように、
　ＭがＤに対する。

• 命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
• 　Ｅ：Ｈ＝Ｍ：Ｄ
  となっている。

ところが
　ＥはＨより大きい。

• （ｂ）による。
• 　Ｅ＞Ｈ
  となっている。

したがって
　ＭもＤより大きい。

• 命題５ー１４（同じ比の前(後)項の大等小）
  による。
• 　Ｍ＞Ｄ
  となっている。

そして
　Ａ、Ｂ[i]、Ｃを割り切る。

• （１）による。
• 　Ｍ;｜(Ａ、Ｂ[i]、Ｃ)、＞Ｄ
  となっている。

　これは不可能である。

なぜなら
　ＤはＡ、Ｂ[i]、Ｃの最大公約数である
と仮定されているから。

• （ａ）により
  ＤはＡ、Ｂ[i]、Ｃの最大公約数である。
  これに矛盾する。
• 「なぜなら・・・であるから」は、
  コメント２（命題１ー１６） 参照のこと。
• 　Ｄ;最大公約数(Ａ,Ｂ[i],Ｃ)
  となっている。

それゆえ
　Ａ、Ｂ[i]、Ｃと同じ比をなし、
　Ｅ、Ｆ[i]、Ｇより小さいいかなる数もない
であろう。

• 背理法による。

よって
　Ｅ、Ｆ[i]、Ｇは
　Ａ、Ｂ[i]、Ｃと同じ比をもつ数のうち最小である。

• 　(Ｅ：Ｆ[i]：Ｇ);＝(Ａ：Ｂ[i]：Ｃ)(最小の数の比)
  となっている。

［Ａ、Ｂ[i]、Ｃについて
　２つの場合の結果により
　ともに
　同じ比をもつ最小の数を
　見いだせる。]
　これが証明すべきことであった。

• 命題７ー３３は、
  　数Ａ、Ｂi、Ｃ
  に対し、
  　最大公約数Ｄ(数Ａ、Ｂi、Ｃ)、
  　数Ｅ(;;＝Ａ／Ｄ)、
  　数Ｆi(;;＝Ｂi／Ｄ)、
  　数Ｇ(;;＝Ｃ／Ｄ)
  をとれば、
  　(Ｅ：Ｆi：Ｇ);＝Ａ：Ｂi：Ｃ(最小の数の比)
  のことである。
  
• 命題７ー３３の補足２(３数以上どうしでの比例の同じ倍数・等分(和))

  前提	作図	推論
  定義		7-13,7-21
  公準
  公理
  命題		補(義7-3),7-11補,7-13
  その他

• 命題７ー３３は構成用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-13,7-16,7-21
  公準
  公理		補2(題7-4)
  命題	7-3	5-11補,5-14,補(義7-3),7-13,7-15,7-19, 7-33補2
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題1-16),コ2(題5-1),コ5(題5-1),コ4(題7-3),背理法,場合分け

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