ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻

命題７ー３（構成.３数の最大公約数）
「・・・か、あるいは、・・・かである」
(３数の公約数は３数の最大公約数を割り切る)
(構成.任意個の数の最大公約数・公約数)
「互いに素による場合分け」
　互いに素でない３つの数が
　与えられたとき、
　それらの最大公約数を見いだすこと。

• 互いに素は、 定義７ー１３ による。
• 数は、 定義７ー２ による。
• 最大公約数は、 定義の補足（命題７ー２） による。

互いに素でない
　３つ[以上]の与えられた数をＡ、Ｂ、Ｃとせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
  　図は、８、６、４による。
  　命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ) による。
• 　数Ａ[;;¬素数]
  に対して
  　数Ｓ[;;¬単位,Ｓ｜Ａ]、
  　数Ｃ[;;Ｓ｜Ｃ]
  をとっている。

このとき
　Ａ、Ｂ、Ｃの最大公約数を
　見いださねばならぬ。
　
Ａ、Ｂの最大公約数Ｄが
　とられたとせよ。 【・・・(a)】

• 命題の設定により
  　Ａ、Ｂは互いに素ではない。
  よって、
  　命題７ー２（構成.最大公約数）
  による。
  
• 　最大公約数Ｄ(Ａ,Ｂ)
  をとっている。

そうすれば
　Ｄは
　Ｃを割り切るか
　あるいは
　割り切らないか
　である。

• 場合分けに先立ち、
  　論理的に可能な場合を
  　明示している。
  「・・・か、あるいは、・・・かである」 という、
  　排中律の明確な初めての表現である。
  場合分けの原理にある考え方であるが、
  　これまでの場合分けでは、
  　その前に、
  　この原理に法った表現はなかった。
  （以下、コメント（命題７ー３） (…か、あるいは、…かである)という。）
• 　ここでの場合分けの必要な理由は、
  　命題７ー２（構成.最大公約数）が
  　２数の互いに素を前提とする
  からである。
  　論証が複雑となる背景は、
  　単位を数と認めず、
  　最大公約数・約数に単位がなることがない
  という設定による。
  (以下、コメント４(命題７ー３) (互いに素による場合分け)という。)
  　今日的には、
  　最大公約数から
  　単位１を排除してないので
  　論証は見通しが随分とよくなる。
  
• 　Ｄ;｜Ｃ
  または
  　Ｄ;¬｜Ｃ
  となっている。

まず
　割り切るとせよ。

• 　Ｄ｜Ｃ
  としている。

ところが
　Ａ、Ｂをも割り切る。

• (a)による。
• 　Ｄ｜(Ａ、Ｂ)
  となっている。

それゆえ
　Ｄは
　Ａ、Ｂ、Ｃを割り切る。

• 　Ｄ｜(Ａ、Ｂ、Ｃ)
  となっている。

ゆえに
　Ｄは
　Ａ、Ｂ、Ｃの公約数である。

• 定義の補足（命題７ー２）(最大公約数・公約数)
  による。
• 　Ｄ;公約数[Ａ,Ｂ,Ｃ]
  となっている。

最大であると主張する。
もし
　ＤがＡ、Ｂ、Ｃの最大公約数でないならば、

• 背理法の仮定を述べようとしている。

　Ｄより大きい何らかの数が
　数Ａ、Ｂ、Ｃを割り切るであろう。

• 背理法の仮定である。

［Ｄより大きい数がＡ、Ｂ、Ｃを］割り切るとし、
　それをＥとせよ。 【・・・(b)】

• 「・・・するものとし」は、
  　コメント３(命題７ー１）参照のこと。
• 　数Ｅ[;;｜(Ａ,Ｂ,Ｃ),Ｅ＞Ｄ]
  としている。

そうすれば
　ＥはＡ、Ｂ、Ｃを割り切るから、

• 　Ｅ｜(Ａ,Ｂ,Ｃ)
  となっている。

　Ａ、Ｂをも割り切るであろう。

• 　Ｅ｜(Ａ,Ｂ)
  となっている。

それゆえ
　Ａ、Ｂの最大公約数をも割り切るであろう。

• 命題７ー２の系３(系.公約数は最大公約数を割り切る)
  による。
• 　Ｅ｜最大公約数(Ａ,Ｂ)

となっている。
Ａ、Ｂの最大公約数はＤである。

• (a)による。
• 　Ｄ;最大公約数(Ａ,Ｂ)
  となっている。

　ゆえに
　ＥはＤを割り切る、
　すなわち
　大きい数が小さい数を割り切る。

• (b)による。
• 　Ｅ;(｜Ｄ、＞Ｄ)
  となっている。

これは不可能である。

• 　命題の補足（定義７ー３）（割り切る数は小さい）
  による。

したがって
　Ｄより大きいいかなる数も
　数Ａ、Ｂ、Ｃを割り切らないであろう。

• 背理法による。

よって
　ＤはＡ、Ｂ、Ｃの最大公約数である。

• 定義の補足（命題７ー２）(最大公約数)
  による。
• 　Ｄ;最大公約数(Ａ,Ｂ,Ｃ)
  となっている。

次に
　ＤがＣを割り切らないとせよ。

• 　Ｄ;¬｜Ｃ
  となっている。

まず
　Ｃ、Ｄが互いに素でないと主張する。

Ａ、Ｂ、Ｃは
　互いに素でないから、

• 　命題の設定による。

　何らかの数が
　それらを割り切るであろう。 【・・・(c)】

• 定義７ー１３ （互いに素）
  による。
• 　数Ｓ[;;｜(Ａ、Ｂ、Ｃ)]
  となっている。

そこで
　Ａ、Ｂ、Ｃを割り切る数は
　Ａ、Ｂをも割り切り、
　Ａ、Ｂの最大公約数をも割り切るであろう。

• 命題７ー２の系３(系.公約数は最大公約数を割り切る)
  による。
• 　Ｓ;｜最大公約数Ｄ(Ａ,Ｂ)
  となっている。

ところが
　Ｃをも割り切る。

• (c) による。
• 　Ｓ｜Ｃ
  となっている。

それゆえ
　何らかの数が数Ｄ、Ｃを割り切るであろう。

• 　Ｓ;｜(Ｄ、Ｃ)
  となっている。

ゆえに
　Ｄ、Ｃは互いに素ではない。

• 定義７ー１３（互いに素）
  による。
• 　Ｄ¬(互いに素)Ｃ
  となっている。

そこで
　 それら［Ｄ、Ｃ］の最大公約数Ｅがとられたとせよ。 【・・・(d)】

• 命題７ー２（構成.最大公約数）
  による。
• 　最大公約数Ｅ(Ｄ,Ｃ)
  をとっている。

そうすれば
　ＥはＤを割り切り、
　ＤはＡ、Ｂを割り切るから、

• 　Ｅ;｜Ｄ、
  　Ｄ;｜(Ａ、Ｂ)
  となっている。

　ＥはＡ、Ｂをも割り切る。

• 命題７−１の補足（倍数の倍数、約数の約数）
  による。
  　Ｅ;｜(Ａ,Ｂ)
  となっている。

ところが
　ＥはＣをも割り切る。

• (d) による。
• 　Ｅ;｜Ｃ
  となっている。

したがって
　ＥはＡ、Ｂ、Ｃを割り切る。

• 　Ｅ;｜(Ａ、Ｂ、Ｃ)
  となっている。

よって、
　ＥはＡ、Ｂ、Ｃの公約数である。

• 定義の補足（命題７ー２）(最大公約数)
  による。
• 　Ｅ;公約数[Ａ,Ｂ,Ｃ]
  となっている。

次に
　最大でもあると主張する。
もし
　ＥがＡ、Ｂ、Ｃの最大公約数でないならば、

• 背理法の仮定を述べようとしている。
• 　Ｅ;¬最大公約数(Ａ,Ｂ,Ｃ)
  としている。

Ｅより大きい何らかの数が
　数Ａ、Ｂ、Ｃを割り切るであろう。

• 背理法の仮定である。

［Ｅより大きい数がＡ、Ｂ、Ｃを］割り切るとし、
　それをＦとせよ。 【・・・(e)】

• 推論の設定である。
• 　公約数Ｆ[Ａ,Ｂ,Ｃ;;＞Ｅ]
  をとっている。

そうすれば
　ＦはＡ、Ｂ、Ｃを割り切るから、
　Ａ、Ｂをも割り切る。
それゆえ
　Ａ、Ｂの最大公約数をも割り切るであろう。

• 命題７ー２の系３ (系.公約数は最大公約数を割り切る)
  による。
• 　Ｆ;｜(Ａ、Ｂ)
  となっている。

ところが
　Ａ、Ｂの最大公約数はＤである。

• (a) による。
• 　Ｄ;最大公約数(Ａ,Ｂ)
  となっている。

ゆえに
　ＦはＤを割り切る。

• 　命題７ー２の系３ (系.公約数は最大公約数を割り切る)
  による。
• 　Ｆ;｜Ｄ
  となっている。

ところが
　Ｃをも割り切る。

• (e)による。
• 　Ｆ;｜Ｃ
  となっている。

したがって
　ＦはＤ、Ｃを割り切る。

• 　Ｆ;｜(Ｄ、Ｆ)
  となっている。

それゆえ
　Ｄ、Ｃの最大公約数をも割り切るであろう。

• 命題７ー２の系３(系.公約数は最大公約数を割り切る)
  による。
• 　Ｆ;｜最大公約数(Ｄ,Ｃ)
  となっている。

ところが
　Ｄ、Ｃの最大公約数はＥである。

• (d)による。
• （ｅ）以降、
  ここまでで、
  次のことが分かる。
  　３つの数の公約数は、
  　その最大公約数を割り切る
  (以下、命題７ー３の補足２(３数の公約数は３数の最大公約数を割り切る)という。)
  
• 　Ｅ;最大公約数(Ｄ,Ｃ)
  となっている。

ゆえに
　ＦはＥを割り切る、
　すなわち
　大きい数が小さい数を割り切る。

• 　命題７ー２の系３ (系.公約数は最大公約数を割り切る)
  による。
• Ｆ;(｜最大公約数Ｄ(Ａ,Ｂ,Ｃ)、＞Ｄ)
  となっている。

これは不可能である。

• (e) による。

したがって
　Ｅより大きいいかなる数も
　数Ａ、Ｂ、Ｃを割り切らないであろう。

• 背理法による。

よって
　ＥはＡ、Ｂ、Ｃの最大公約数である。

• 　Ｅ;最大公約数(Ａ,Ｂ,Ｃ)
  となっている。

［ ２つの場合の結果により
　常に
　互いに素でない３つの数の
　最大公約数を作図できた。］

これが証明すべきことであった。

• 　互いに素でない任意のｎ個の数
  　Ａ、Ｂ1、…、Ｂn-1の
  　最大公約数は、
  　最大公約数Ｄ1(Ａ,Ｂ1)
  として、
  　最大公約数Ｄi(Ｄi-1,Ｂi)
  を逐次とって得られる
  　Ｄn-1
  であり、
  　任意の公約数は、
  　最大公約数Ｄn-1
  　を割り切る。
  (以下、命題７ー３の補足３(構成.任意個の数の最大公約数・公約数)という。)
  
  　命題７ー２（構成.最大公約数）
  により、
  　最大公約数Ｄ1(Ａ,Ｂ1)、
  　…
  　最大公約数Ｄi(Ｄi-1,Ｂi)
  を逐次求めると、
  
  　命題７ー３（構成.３数の最大公約数）
  により、
  　最大公約数Ｃ2(Ａ,Ｂ1,Ｂ2);＝Ｄ2
  となっている。
  　命題７ー３の補足(３数の公約数は３数の最大公約数を割り切る)
  により、
  　公約数[Ａ,Ｂ1,Ｂ2]｜Ｃ2
  となっている。
  
  [......(１０１)]
  　(Ａ、Ｂ1、…、Ｂi+1);¬(互いに素)
  により、
  　公約数Ｚi+1(Ａ,Ｂ1,…,Ｂi+1)
  があるので、
  　Ｚi+1｜(Ａ、Ｂ1、…、Ｂi)、
  　(１０１)
  により
  　Ｚi+1｜(Ｄi,Ｂi+1)
  となり、
  　命題７ー２（構成.最大公約数）
  により
  　最大公約数Ｄi+1(Ｄi,Ｂi+1)
  が存在する。
  　帰納法の仮定、
  すなわち
  　Ｄi｜(Ａ、Ｂ1、…、Ｂi)
  と、
  　Ｄi+1｜(Ｄi、Ｂi+1)、
  　命題７−１の補足（倍数の倍数、約数の約数）
  により、
  　Ｄi+1｜(Ａ、Ｂ1、…、Ｂi、Ｂi+1)
  となっている。
  　背理法の仮定として、
  　公約数Ｅ[Ａ、Ｂ1、…、Ｂi、Ｂi+1;;＞Ｄi+1]
  が存在したとしたら、
  　Ｅ;｜(Ａ、Ｂ1、…、Ｂi)
  となり、
  　（１０１）により、
  　Ｅ;｜Ｄi
  となっているので、
  　Ｅ;｜(Ｄi、Ｂi+1)
  すなわち
  　Ｅ;｜Ｄi+1
  となり、
  　命題の補足（定義７ー３）（割り切る数は小さい）
  により、
  　Ｅ;＜Ｄi+1
  となって、
  　背理法の仮定と矛盾する。　
  よって、
  　Ｄi+1;最大公約数(Ａ、Ｂ1、…、Ｂi、Ｂi+1)
  となる。
  また、
  　公約数Ｆ[Ａ,Ｂ1,…,Ｂi,Ｂi+1]
  は、
  　Ｆ｜(Ａ、Ｂ1、…、Ｂi)、
  　Ｆ｜(Ｄi,Ｂi+1)
  となるので、
  　命題７ー２の系３ (系.公約数は最大公約数を割り切る)
  により、
  　公約数Ｆ｜最大公約数Ｃi+1
  となる。
  なお、
  　以上の証明は、
  　数学的帰納法である。
  　命題７ー３が、
  　任意個の数の最大公約数を求めることを、
  　３個の数の場合を示して
  　準一般的に証明しているのではなく、
  　３個の場合と明示して証明している
  ことから、
  　ユークリッドの時代には
  　準一般的な証明に帰することができない
  　数学的帰納法の必要となる背景は意識されていた
  と判断できよう。
  　
• 命題７ー３は、
  　互いに素でない数Ａ、Ｂ、Ｃ
  に対して
  　最大公約数Ｄ(Ａ,Ｂ)、
  　最大公約数Ｅ(Ｄ,Ｃ)
  をとれば、
  　Ｅ;最大公約数(Ａ,Ｂ,Ｃ)
  のことである。
• 命題７ー３の補足２(３数の公約数は３数の最大公約数を割り切る)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		7-2系3
  その他

• 命題７ー３の補足３(構成.任意個の数の最大公約数・公約数)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	7-2	補(義7-3),7-1補,7-2系3,7-3,7-3補
  その他		数学的帰納法

• 命題７ー３は構成用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		補(題7-2),7-13
  公準
  公理
  命題	補(義7-2),7-2	補(義7-3),7-1補,7-2系3
  その他		場合わけ,コ3(題7-1),コ(題7-3)

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