ユークリッド原論をどう読むか(11)
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ユークリッド原論

第7巻
 
命題7ー4(小さい数は等分数か等分和数)
(約数・等分数(倍数)に等しいもの、等しいものの約数・等分数(倍数))
(約数・等分数(倍数)での代入の原理)
(大きい数は《約数和》[等分和数](倍数))
すべての小さい
 大きい《約数》[等分数]
 または
 《約数和》[等分和]である。


A、BCを2つのとし、
 BCが小さいとせよ。

BCは
 Aの《約数》[等分数]
 または
 《約数和》[等分和数]である
 と主張する。
 
A、BCは
 互いに素であるか
 あるいは
 ないか
 である。

まず
 A、BCが互いに素であるとせよ。

そうすれば
 BCが
 そのなかにある単位
 分けられるとき、

 BCのなかにある
 おのおのの単位
 Aの《約数》[等分数]であろう。

したがって
 BCはAの《約数和》[等分和数]である。


次に
 A、BCが互いに素でないとせよ。

そうすれば
 BCは
 Aを割り切る
 あるいは
 割り切らないか
である。

そこでもし
 BCが
 Aを割り切るならば、


 BCはAの《約数》[等分数]である。

ところがもし
 割り切らないならば、

  A、BCの最大公約数Dがとられたとし、

 そして
 BCが
 Dに等しいBE、《EF》[EiFi]、FC
 [、B=E0、E=F0、Ei=Fi-1、F=Fn、C=Fn+1]に
 分けられたとせよ。 【・・・(a)】

そうすれば
 DはAを割り切るから、
 DはAの《約数》[等分数]である。

ところが
 Dは
 BE、E[i]F[i]、FCのおのおのに等しい

それゆえ
 BE、E[i]F[i]、FCのおのおのもAの《約数》[等分数]である。

ゆえに
 BCはAの《約数和》[等分和数]である。

したがって、
 第2段階では、
 2つの場合の結果により
 BCはAの《約数》[等分数]であるか、
 《約数和》[等分和数]である。

したがって、
 第1段階で、
 2つの場合の結果により
 BCはAの等分数であるか、
 等分和数である。]
 
よって
 すべての小さい
 大きい《約数》[等分数]
 または
 《約数和》[等分和数]である。
これが証明すべきことであった。
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