ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論
第７巻
命題７ー２２（同じ比の最小の２数は互いに素）
(２数の比の最小数)
同じ比をもつ２数のうち
最小の数は
互いに素である。
Ａ、Ｂを
同じ比をもつ２数のうち最小
とせよ。
-
「数（について）・・・とせよ」は、
コメント４（命題７ー１）
参照のこと。
-
数Ａ、Ｂ
に対して、
(数Ｘ：数Ｙ);＝Ａ：Ｂ、(最小数の比)
とする。
改めて、
Ｘ、ＹをＡ、Ｂ
とすると、
(Ａ：Ｂ);(最小数の比)
となっている。
この段階では、
Ａ、Ｂは仮想的である。
Ａ、Ｂは互いに素である
と主張する。
もし
互いに素でない
ならば、
何らかの数が
それらを割り切る
であろう。
-
背理法の仮定である。
-
定義７ー２（数の定義）
により、
数は単位ではない。
割り切る
とし、
それをＣ
とせよ。
[......(ａ)]
-
推論の設定である。
-
Ｃ;｜(Ａ、Ｂ)
となっている。
そして
ＣがＡを割った商に
等しい個数の単位が
Ｄのなかにあり、
ＣがＢを割った商に
等しい個数の単位が
Ｅのなかにある
とせよ。
[......(Ｂ)]
-
（ａ）、
による。
推論の設定である。
-
数Ｄ(;;個数(Ｄ,単位)＝商(Ａ,Ｃ)＝ｍ)、
数Ｅ(;;個数(Ｅ,単位)＝商(Ｂ,Ｃ)＝ｎ)
をとっている。
ＣがＡを割った商は
Ｄのなかにある
単位の個数に等しい
から、
Ｃは
ＤにかけてＡをつくった。
-
定義７ー１６
（かけるの定義）
による。
-
Ｃ;Ｃ×Ｄ＝Ａ
となっている。
同じ理由
で
Ｃは
またＥにかけてＢをつくった。
そこで
数Ｃは２数Ｄ、Ｅにかけて
Ａ、Ｂをつくった。
-
前節、前々節による。
-
Ｃ;×(Ｄ、Ｅ)＝(Ａ、Ｂ)
となっている。
それゆえ
ＤがＥに対するように、
ＡがＢに対する。
-
命題７ー１７
（同数を各項にかけても比は同じ）
による。
-
Ｄ：Ｅ＝Ａ：Ｂ
となっている。
ゆえに
Ｄ、Ｅは
Ａ、Ｂより小さくて、
それらと同じ比をなす。
これは不可能である。
したがって
いかなる数も
数Ａ、Ｂを割り切らないであろう。
よって
Ａ、Ｂは互いに素である。
これが証明すべきことであった。
-
命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
により、
互いに素な２数が
同じ比をもつ数のうちで
最小の数の比となる
ことが想定されるが、
最小の数の比となる数が
互いに素であること
は、
本命題を待たねばならなかった。
キーとなる命題は、
命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
であった。
-
命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）、
本命題
により、
２数が
同じ比の最小な２数であることと
互いに素であること
とが同値である
と確定でき、
命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)
により作図できる。
２数Ａ、Ｂの比において
最小の数の比となる数Ｃ、Ｄが、
仮想的にではなく、
実際的に確定でき、作図できる。
(以下、命題７ー２２の補足(構成.２数の比の最小数)という。)
Ａ、Ｂ
について
Ａ;(互いに素)Ｂ
ならば、
命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
により、
(Ａ：Ｂ);最小の数の比
となっている。
Ａ;¬(互いに素)Ｂ
ならば、
命題７ー２（構成.最大公約数）
により
最大公約数Ｅ(Ａ,Ｂ)
を求め、
(Ｃ、Ｄ)＝(商(Ａ,Ｅ),商(Ｂ,Ｅ))
をとれば、
Ｃ、Ｄには公約数がない
から
Ｃ(互いに素)Ｄ
となるので、
(Ｃ：Ｄ);(最小数の比)
となっている。
- 命題７ー２２は、
(Ａ：Ｂ);(最小数の比)
とすれば、
Ａ;(互いに素)Ｂ
のことである。
-
命題７ー２２の補足(構成.２数の比の最小数)
- 命題７ー２２は推論用命題である。
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