ユークリッド原論をどう読むか(11)
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ユークリッド原論

第7巻
 
命題7ー19(4数の比例と内項・外項の積)
もし
 4つの比例する
ならば、
 第1と第4の
 第2と第3の等しい
であろう。
そして
もし
 第1と第4の
 第2と第3の等しい
ならば、
 4つの比例する
であろう。



 A、B、C、Dを4つの比例する
 すなわち
 AがBに対するように
 CがDに対する
とし、
 AがDにかけてEをつくり、
 BがCにかけてFをつくる
とせよ。

 EはFに等しい
と主張する。

 AがCにかけ
 Gをつくった
とせよ。
      [......(a)]

そうすれば
 Aが
 CにかけてGをつくり 
 DにかけてEをつくった

から、
 Aは
 2つのC、DにかけてG、Eをつくった。

それゆえ
 CがDに対するように
 GがEに対する

ところが
 CがDに対するように
 AがBに対する

ゆえに
 AがBに対するように
 GがEに対する
      [......(1)]

また
 Aが
 CにかけてGをつくり、
他方
 BもCにかけてFをつくった

から、
 2A、Bが
 任意のCにかけてG、Fをつくった
ことになる。

したがって
 AがBに対するように
 GがFに対する

ところが
 AがBに対するように
 GがEに対する

それゆえ
 GがEに対するように
 GがFに対する

ゆえに
 Gは
 E、Fの双方に対し同じ比をもつ。

したがって
 EはFに等しい

また
 AがDにかけてEをつくり、
 BがCにかけてFをつくる
とき、
 EがFに等しい
とせよ。

 AがBに対するように
 CがDに対する
と主張する。

 同じ作図がなされた
とき、
      [......(b)]

 EがFに等しい

から、
 GがEに対するように
 GがFに対する

ところが
 GがEに対するように
 CがDに対し、

 GがFに対するように
 AがBに対する
よって
 AがBに対するように
 CがDに対する

 これが証明すべきことであった。
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