ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
もし
　４つの数が比例する
ならば、
　第１と第４の積は
　第２と第３の積に等しい
であろう。
そして
もし
　第１と第４の積が
　第２と第３の積に等しい
ならば、
　４つの数は比例する
であろう。

• 数は、 定義７ー２による。
• 比例するは、 定義７ー２１による。
• 積は、 定義７ー１６の補足２による。

　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを４つの比例する数、
　すなわち
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する
とし、
　ＡがＤにかけてＥをつくり、
　ＢがＣにかけてＦをつくる
とせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
• 命題７ー１１の補足(構成.比例する数の作図)
  による。
  図は、Ａ＝６、Ｂ＝２、Ｃ＝３、Ｄ＝１による。
• 　数Ａ、Ｂ、Ｃ
  に対して、
  　数Ｄ(;;Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ)、
  　数Ｅ(Ａ×Ｄ)、
  　数Ｆ(Ｂ×Ｃ)
  をとっている。

　ＥはＦに等しい
と主張する。

　ＡがＣにかけて
　Ｇをつくった
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 推論の設定である。
• 　数Ｇ(Ａ×Ｃ)
  をとっている。

そうすれば
　Ａが
　ＣにかけてＧをつくり　
　ＤにかけてＥをつくった

• 推論の設定（ａ）, 命題の設定による
• 　Ｇ＝Ａ×Ｃ、
  　Ｅ＝Ａ×Ｄ
  となっている。

から、
　数Ａは
　２つの数Ｃ、ＤにかけてＧ、Ｅをつくった。

• 前節の繰り返しである。
• 　Ｇ＝Ａ×Ｃ、
  　Ｅ＝Ａ×Ｄ
  となっている。

それゆえ
　ＣがＤに対するように、
　ＧがＥに対する。

• 命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
• 　Ｃ：Ｄ＝Ｇ：Ｅ
  となっている。

ところが
　ＣがＤに対するように、
　ＡがＢに対する。

• 命題の設定（ａ）、
  命題５ー１１の補足 （同じ比は互いに同じ）
  による。
• 　Ｃ：Ｄ＝Ａ：Ｂ
  となっている。

ゆえに
　ＡがＢに対するように、
　ＧがＥに対する。
　　　　　　[......(１)]

• 命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｇ：Ｅ
  となっている。

また
　Ａが
　ＣにかけてＧをつくり、
他方
　ＢもＣにかけてＦをつくった

• 推論の設定（ａ）, 命題の設定による
• 　Ｇ＝Ａ×Ｃ、
  　Ｆ＝Ｂ×Ｃ
  となっている。

から、
　２数Ａ、Ｂが
　任意の数ＣにかけてＧ、Ｆをつくった
ことになる。

• 前節の繰り返しである。
• 　Ｇ＝Ａ×Ｃ、
  　Ｆ＝Ｂ×Ｃ
  となっている。

したがって
　ＡがＢに対するように、
　ＧがＦに対する。

• 命題７ー１８ （各項を同数にかけても比は同じ）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｇ：Ｆ
  となっている。

ところが
　ＡがＢに対するように、
　ＧがＥに対する。

• 先節の結果（１） による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｇ：Ｅ
  となっている。

それゆえ
　ＧがＥに対するように
　ＧがＦに対する。

• 前節、前々節の結果、
  命題５ー１１ （同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ｇ：Ｅ＝Ｇ：Ｆ
  となっている。

ゆえに
　Ｇは
　Ｅ、Ｆの双方に対し同じ比をもつ。

• 前節の繰り返しである。
• 　Ｇ：Ｅ＝Ｇ：Ｆ
  となっている。

したがって
　ＥはＦに等しい。

• 命題５ー９（同一比の量）
  による。
• 　Ｅ＝Ｆ
  となっている。

また
　ＡがＤにかけてＥをつくり、
　ＢがＣにかけてＦをつくる
とき、
　ＥがＦに等しい
とせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
• 　数Ａ、Ｄ
  について、
  　数Ｅ(Ａ×Ｄ)、
  　約数Ｂ[Ｅ]、
  　個数Ｃ(Ｅ,Ｂ)
  をとれば
  　数Ｆ(Ｂ×Ｃ)＝Ｅ
  となっている。

　ＡがＢに対するように
　ＣがＤに対する
と主張する。

　同じ作図がなされた
とき、
　　　　　　[......(ｂ)]

• 推論の設定 （ａ）
  ＡがＣにかけてＧつくったこと
  を言っている。
• 　Ｇ＝Ａ×Ｃ
  をとっている。

　ＥがＦに等しい

• 後半の 命題の設定 による。
• 　(Ｅ;Ａ×Ｄ)＝(Ｆ;Ｂ×Ｃ)
  となっている。

から、
　ＧがＥに対するように、
　ＧがＦに対する。

• 命題５ー７（同一量の比）
  による。
• 　Ｇ：Ｅ＝Ｇ：Ｆ
  となっている。

ところが
　ＧがＥに対するように、
　ＣがＤに対し、

• 推論の設定（ｂ）により
  　Ａ×Ｃ＝Ｇ、
  命題の設定 により
  　Ａ×Ｄ＝Ｅ
  だから、
  命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
• 　Ｇ：Ｅ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。

　ＧがＦに対するように、
　ＡがＢに対する。

• 推論の設定（ｂ）により
  　Ａ×Ｃ＝Ｇ、
  命題の設定 により
  　Ｂ×Ｃ＝Ｆ
  だから、
  命題７ー１８（各項を同数にかけても比は同じ）
  による。
• 　Ｇ：Ｆ＝Ａ：Ｂ
  となっている。

よって
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する。

• 前項、前々項の結果、
  命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。

　これが証明すべきことであった。

• 命題７ー１９は、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  　⇔
  　Ａ＊Ｄ＝Ｂ＊Ｃ
  のことである。
• 命題７ー１９は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	7-11補	5-7,5-9,5-11,5-11補,7-17,7-18
  その他	コ4(題7-1)

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