ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論
第７巻
命題７ー１５（割る数と商のいれかえ）
もし
単位がある数を割り切り、
別のある数が別のある数を割り切り、
その商が等しい
ならば、
いれかえて
単位が第３の数を、
第２の数が第４の数を
割った商も等しい
であろう。
単位Ａが任意の数ＢＣを割り切り、
別の数Ｄが別の任意の数ＥＦを割り切り、
その商が等しい
とせよ。
-
「数（について）・・・とせよ」は、
コメント４（命題７ー１）
参照のこと。
-
定義７ー８の補足（商）、
定義７−２１（比例）
により、
商が等しい数の作図は、
命題７ー１１の補足(構成.比例する数の作図)
による。
図は、Ａ＝１、ＢＣ＝３、Ｄ＝２、ＥＦ＝６による。
-
単位Ａ、数ＢＣ、Ｄ
に対して、
数ＥＦ(;;＝倍数(ＢＣ,Ａ)×Ｄ)
をとると、
商(ＢＣ,Ａ)＝商(ＥＦ,Ｄ)
となっている。
いれかえて
単位Ａが数Ｄを、
ＢＣがＥＦを
割った商も等しい
と主張する。
単位Ａが数ＢＣを、
ＤがＥＦを
割った商は等しい
から、
-
命題の設定による。
-
商(ＢＣ,Ａ)＝商(ＥＦ,Ｄ)
となっている。
ＢＣのなかにある単位の個数と同じ個数の、
Ｄに等しい数がＥＦのなかにもある。
-
定義７ー８の補足（商）
による。
-
個数(ＢＣ,Ａ)＝個数(ＥＦ,Ｄ)
となっている。
ＢＣが
自分自身のなかにある
単位ＢＧ、ＧＨ['、ＨiＨ'i]、ＨＣに、
ＥＦが
Ｄに等しいＥＫ、ＫＬ['、ＬiＬ'i]、ＬＦに
分けられた
とせよ。
[......(ａ)]
-
準一般的な証明である。
コメント２（命題５ー１）
参照のこと。
- 直前の結果による。
-
準一般的な証明の一般化の方法は、
コメント５（命題５ー１）
参照のこと。
-
個数(ＢＧ、ＧＨ'、ＨiＨ'i、ＨＣ)
＝個数(ＥＫ、ＫＬ'、ＬiＬ'i、ＬＦ)
となっている。
そうすれば
ＢＧ、ＧＨ['、ＨiＨ'i]、ＨＣは互いに等しく、
数ＥＫ、ＫＬ['、ＬiＬ'i]、ＬＦも互いに等しく、
単位ＢＧ、ＧＨ['、ＨiＨ'i]、ＨＣの個数は
数ＥＫ、ｋＬ['、ＬiＬ'i]、ＬＦの個数に等しい
から、
-
直前の結果による。
-
個数(ＢＧ、ＧＨ'、ＨiＨ'i、ＨＣ)
＝個数(ＥＫ、ＫＬ'、ＬiＬ'i、ＬＦ)
となっている。
単位ＢＧが数ＥＫに対するように、
単位ＧＨ[']が数ＫＬ[']に、
［単位ＨiＨ'iが数ＬiＬ'iに、］
単位ＨＣが数ＬＦに対する
であろう。
-
命題５ー１１の補足２（等しい量は同じ比をもつ）
による。
-
ＢＧ：ＥＫ＝ＧＨ'：ＫＬ'
＝ＨiＨ'i：ＬiＬ'i＝ＨＣ：ＬＦ
となっている。
それゆえ
前項の一つが後項の一つに対するように
前項の総和が後項の総和に対する
であろう。
-
命題７ー１２（比例する前項・後項の総和）
による。
-
ＢＧ：ＥＫ＝ΣＨiＨ'i：ΣＬiＬ'i
となっている。
それゆえ
単位ＢＨが数ＥＫに対するように、
ＢＣがＥＦに対する。
-
直前の結果による。
-
ＢＧ：ＥＫ＝ＢＣ：ＥＦ
となっている。
ところが
単位ＢＨは単位Ａに、
数ＥＫは数Ｄに等しい。
-
（ａ）による。
-
ＢＨ＝Ａ、
ＥＫ＝Ｄ
となっている。
したがって
単位Ａが数Ｄに対するように、
ＢＣがＥＦに対する。
よって
単位Ａが数Ｄを、
ＢＣがＥＦを割った商は等しい。
これが証明すべきことであった。
- 命題７ー１５は、
商(ＢＣ,単位Ａ)＝商(ＥＦ,Ｄ)
ならば
商(Ｄ,単位Ａ)＝商(ＢＣ,ＥＦ)
のことである。
-
ＤがＥを割り切り、
商がＢ
ならば
ＢはＥを割り切り、
商はＤ
つまり、
Ｅ／Ｄ＝Ｂ
ならば
Ｅ／Ｂ＝Ｄ
のことである。
- 命題７ー１５は推論用命題である。
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