ユークリッド原論をどう読むか(11)
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ユークリッド原論
第7巻
命題7ー15(割る数と商のいれかえ)
もし
単位がある数を割り切り、
別のある数が別のある数を割り切り、
その商が等しい
ならば、
いれかえて
単位が第3の数を、
第2の数が第4の数を
割った商も等しい
であろう。

単位Aが任意の数BCを割り切り、
別の数Dが別の任意の数EFを割り切り、
その商が等しい
とせよ。
-
「数(について)・・・とせよ」は、
コメント4(命題7ー1)
参照のこと。
-
定義7ー8の補足(商)、
定義7−21(比例)
により、
商が等しい数の作図は、
命題7ー11の補足(構成.比例する数の作図)
による。
図は、A=1、BC=3、D=2、EF=6による。
-
単位A、数BC、D
に対して、
数EF(;;=倍数(BC,A)×D)
をとると、
商(BC,A)=商(EF,D)
となっている。
いれかえて
単位Aが数Dを、
BCがEFを
割った商も等しい
と主張する。
単位Aが数BCを、
DがEFを
割った商は等しい
から、
-
命題の設定による。
-
商(BC,A)=商(EF,D)
となっている。
BCのなかにある単位の個数と同じ個数の、
Dに等しい数がEFのなかにもある。
-
定義7ー8の補足(商)
による。
-
個数(BC,A)=個数(EF,D)
となっている。
BCが
自分自身のなかにある
単位BG、GH['、HiH'i]、HCに、
EFが
Dに等しいEK、KL['、LiL'i]、LFに
分けられた
とせよ。
[......(a)]
-
準一般的な証明である。
コメント2(命題5ー1)
参照のこと。
- 直前の結果による。
-
準一般的な証明の一般化の方法は、
コメント5(命題5ー1)
参照のこと。
-
個数(BG、GH'、HiH'i、HC)
=個数(EK、KL'、LiL'i、LF)
となっている。
そうすれば
BG、GH['、HiH'i]、HCは互いに等しく、
数EK、KL['、LiL'i]、LFも互いに等しく、
単位BG、GH['、HiH'i]、HCの個数は
数EK、kL['、LiL'i]、LFの個数に等しい
から、
-
直前の結果による。
-
個数(BG、GH'、HiH'i、HC)
=個数(EK、KL'、LiL'i、LF)
となっている。
単位BGが数EKに対するように、
単位GH[']が数KL[']に、
[単位HiH'iが数LiL'iに、]
単位HCが数LFに対する
であろう。
-
命題5ー11の補足2(等しい量は同じ比をもつ)
による。
-
BG:EK=GH':KL'
=HiH'i:LiL'i=HC:LF
となっている。
それゆえ
前項の一つが後項の一つに対するように
前項の総和が後項の総和に対する
であろう。
-
命題7ー12(比例する前項・後項の総和)
による。
-
BG:EK=ΣHiH'i:ΣLiL'i
となっている。
それゆえ
単位BHが数EKに対するように、
BCがEFに対する。
-
直前の結果による。
-
BG:EK=BC:EF
となっている。
ところが
単位BHは単位Aに、
数EKは数Dに等しい。
-
(a)による。
-
BH=A、
EK=D
となっている。
したがって
単位Aが数Dに対するように、
BCがEFに対する。
よって
単位Aが数Dを、
BCがEFを割った商は等しい。
これが証明すべきことであった。
- 命題7ー15は、
商(BC,単位A)=商(EF,D)
ならば
商(D,単位A)=商(BC,EF)
のことである。
-
DがEを割り切り、
商がB
ならば
BはEを割り切り、
商はD
つまり、
E/D=B
ならば
E/B=D
のことである。
- 命題7ー15は推論用命題である。
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