ユークリッド原論をどう読むか（１１）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー１３（比例４数はいれかえても比例）
もし
　４つの数が比例する
ならば、
　いれかえても比例するであろう。

• 数は、 定義７ー２による。
• 比例は、 定義５ー６による。
• いれかえは、 定義の補足（命題７ー９）による。

　４つの数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが比例し、
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する
とせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
  図は、Ａ＝６、Ｂ＝３、Ｃ＝４、Ｄ＝２による。
  　命題７ー１１の補足(構成.比例する数の作図)
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  　となる数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ
  をとっている。

　いれかえて
も
　比例し、
　ＡがＣに対するように、
　ＢがＤに対するであろう
と主張する。

　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する
から、
　ＡがＢのいかなる《約数》[等分]または《約数》[等分]和であろう
と、
　ＣもＤの同じ《約数》[等分]または《約数》[等分]和である。

• 定義７−２１（比例）
  による。
• 　等分和(Ａ,Ｂ)＝等分和(Ｃ,Ｄ)
  となっている。

それゆえ
　いれかえて
　ＡがＣのいかなる《約数》[等分]または《約数》[等分]和であろう
と、
　ＢもＤの同じ《約数》[等分]または《約数》[等分]和である。

• 命題７ー９（同じ等分のいれかえ）、
  命題７ー１０（同じ等分和のいれかえ）
  による。
• 　等分和(Ａ,Ｃ)＝等分和(Ｂ,Ｄ)
  となっている。

よって
　ＡがＣに対するように
　ＢがＤに対する。

• 定義７−２１（比例）
  による。
• 　Ａ：Ｃ＝Ｂ：Ｄ
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題７ー１３は、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  ならば
  　Ａ：Ｃ＝Ｂ：Ｄ
  のことである。
  
• 命題７ー１３は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-21
  公準
  公理
  命題	7-11補	7-9,7-10
  その他	コ4(題7-1)

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭