ユークリッド原論をどう読むか（１４）
頁末 　　 前 　　 次 　 目次

ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー８４（中項面積の差に等しい正方形の辺に付加して全体と、平方で非通約、平方和が中項面積、全体と中項面積をかこみ、平方和と非通約となる線分は唯一）
　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺には
　　それに
　　　付加されて
　　全体と平方において通約
　　　できず、
　　それら
　　すなわち
　　全体と付加された線分との上の正方形の和を
　　中項面積
　　　とし、
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形の２倍を
　　中項面積で
　　かつ
　　それらの上の正方形の和と通約
　　　できないようにする
　ただ一つの線分が
　　　ある。

• 二つの中項面積の差に等しい正方形の辺は、
  定義の補足(命題１０ー７８)による。
• 平方において通約は、
  定義１０ー２による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• かこまれるは、
  による。
• >矩形は、
  定義１ー２２による。
• 倍は、
  定義の補足（公理１ー５）による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。

　　ＡＢを
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　とし、
　　それに
　ＢＣが
　　　付加された
とせよ。
そうすれば
　ＡＣ、ＣＢは
　　平方において通約
　　　できず、
　　上述の条件を
　　　みたす。

• 　命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約）
  により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＣ、
  　　　小さい方をＢＣ
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　　　Ｂ’（ＡＣ；Ｂ’Ｃ＝ＢＣ）
  　　をとり、
  　　　改めて、
  　　　Ｂ’をＢ
  　　とする。
• 　　ＡＣ¬∩^2 ＢＣ、
  　　　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積
  　　　矩形(ＡＣ、ＢＣ)；中項面積
  　　　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＢＣ)¬∩矩形(ＡＣ、ＢＣ)　　
  　　　ＡＣ＞ＢＣ
  　ＡＢ；２つの中項面積の差に等しい正方形の辺
  となっている。

　ＡＢには
　　上述の条件を
　　　みたす
　他のいかなる線分も
　　　付加されない
と主張する。

もし可能ならば、
　ＢＤが
　　　付加された
とし、

• 　　背理法の仮定を
  　　　述べようとしている。

　ＡＤ、ＤＢが
　　平方において通約
　　　できず、
　　ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和を
　　　中項面積とし、
　　矩形ＡＤ、ＤＢの２倍を
　　　中項面積とし、
　　さらに
　　ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和を
　　矩形ＡＤ、ＤＢの２倍と
　　　通約できない
ようにせよ。

• 　背理法の仮定
  　　　である。
• 　　ＡＤ¬∩^2 ＢＤ、
  　　　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＢＤ)；中項面積
  　　　矩形(ＡＤ、ＢＤ)；中項面積
  　　　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＢＤ)¬∩矩形(ＡＤ、ＢＤ)　　
  　　　ＡＤ＞ＢＤ
  となっている。

　有理線分ＥＦが
　　　定められ、
　　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和に
　　　等しい
　　ＥＦ上にＥＭを
　　　幅とする
　ＥＧが
　　　つくられ、
　　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍に
　　　等しく
　　ＥＦ上にＨＭを
　　　幅とする
　ＨＧが
　　つくられた
とせよ。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　ＥＦ；有理線分、
  　矩形ＥＧ(ＥＦ、ＥＭ)＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)）、
  　矩形ＨＧ(ＥＦ、ＨＭ)＝２矩形(ＡＢ、ＣＢ)
  となっている。

そうすれば
　残りのＡＢ上の正方形は
　　ＥＬに
　　　等しい。
ゆえに
　ＡＢは
　　ＥＬに
　　　等しい
　　正方形の辺
　　　である。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　正方(_ＡＢ)＝矩形ＥＬ
  となっている。

また
　　ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和に
　　　等しく
　　ＥＦ上にＥＮを
　　　幅とする
　ＥＩが
　　　つくられた
とせよ。

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　矩形ＥＩ(ＥＦ、ＥＮ)＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)）、
  となっている。

　ＡＢ上の正方形も
　　ＥＬに
　　　等しい。

• 　（２）による。
• 　正方(_ＡＢ)＝矩形ＥＬ
  となっている。

したがって
　残りの矩形ＡＤ、ＤＢの２倍は
　　ＨＩに
　　　等しい。

• 　前節、前々節、
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　２矩形(ＡＤ、ＤＢ)＝矩形ＨＩ
  となっている。

そして
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和は
　　中項面積
　　　であり
　　ＥＧに
　　　等しい

• 　命題の設定、 （１）による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＝矩形ＥＧ
  となっている。

から、
　ＥＧも
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、 命題の設定による。
• 　矩形ＥＧ；中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＥＦ上に
　　ＥＭを幅として
　　　つくられている。

• 　（１）による。
• 　矩形ＥＧ；矩形(ＥＦ、ＥＭ)
  となっている。

したがって
　ＥＭは
　　有理線分
　　　であり
　　ＥＦと
　　長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
  
• 　ＥＭ；有理線分、¬∩ＥＦ
  となっている。

また
　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍は
　　中項面積
　　　であり
　　ＨＧに
　　　等しい

• 　（１）による。
• 　矩形(ＡＣ、ＣＢ)＝矩形ＨＧ、
  　　；中項面積
  となっている。

から、
　ＨＧも
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
  
• 　矩形ＨＧ；中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＥＦ上に
　　ＨＭを幅として
　　　つくられている。

• 　（２）による。
• 　矩形ＨＧ；矩形(ＥＦ、ＨＭ)、
  　ＥＦ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＨＭは
　　有理線分
　　　であり
　　ＥＦと
　　長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
  
• 　ＨＭ；有理線分、¬∩ＥＦ
  となっている。

そして
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和は
　　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍と
　　　通約できない
から、
　ＥＧも
　　ＨＧと
　　　通約できない。

• 　命題の設定、
  （１）、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
  
• 　矩形ＥＧ¬∩矩形ＨＧ
  となっている。

したがって
　ＥＭは
　　ＭＨと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、 （１）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＥＭ¬∩ＭＨ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分
　　　である。

• 　（３） （４）による。
• 　ＥＭ、ＨＭ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＥＭ、ＭＨは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＥＭ∩^^2 ＭＨ
  となっている。

ゆえに
　ＥＨは
　　余線分
　　　であり、
　　それに
　ＨＭが
　　付加される。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＥＨ；余線分
  となっている。

同様にして
　ＥＨも
　　また余線分
　　　であり、
　　それに
　ＨＮが
　　　付加される
ことを証明しうる。

• 　背理法の仮定、 （２）による。
• 　ＥＨ；余線分
  となっている。

したがって
　　余線分に
　　全体と平方においてのみ通約
　　　できる
　異なった二つの有理線分が
　　　付加される。

• 　前節、前々節による。

　これは
　　　不可能である
ことが証明された。

• 　命題１０ー７９（余線分に付加して全体と平方のみ通約となる有理線分は唯一） による。

ゆえに
　　ＡＢには
　他のいかなる線分も
　　　付加されない。

• 　前節、背理法による。

よって
　　ＡＢには
　　それに
　　　付加されて
　　全体と平方において通約
　　　できず、
　　それら
　　すなわち
　　全体と付加された線分との上の正方形の和を
　　　中項面積とし、
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形の２倍を
　　　中項面積とし、
　　さらに
　　それらの上の正方形の和を
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形の２倍と
　　　通約できないようにする
　ただ一つの線分が
　　　ある。

• 　前節による。
• 　　ＡＢ；２つの中項面積の差に等しい正方形の辺
  　　　　に対し、
  　　　ＡＣ¬∩^2 ＢＣ、
  　　　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積
  　　　矩形(ＡＣ、ＢＣ)；中項面積
  　　　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＢＣ)¬∩矩形(ＡＣ、ＢＣ)　　
  　　　ＡＣ＞ＢＣ
  　　　となる
  　線分ＢＣは
  　　唯一である。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー８４は、
  　命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約）
  により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＣ、
  　　　小さい方をＢＣ
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　　　Ｂ’（ＡＣ；Ｂ’Ｃ＝ＢＣ）
  　　をとり、
  　　　改めて、
  　　　Ｂ’をＢ
  　　とする。
  すると、
  　　ＡＣ¬∩^2 ＢＣ、
  　　　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積
  　　　矩形(ＡＣ、ＢＣ)；中項面積
  　　　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＢＣ)¬∩矩形(ＡＣ、ＢＣ)　　
  　　　ＡＣ＞ＢＣ
  　ＡＢ；２つの中項面積の差に等しい正方形の辺
  　　　となる
  　線分ＢＣは
  　　唯一
  のことである。
  
• 命題１０ー８４は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,補(題10-73)
  公準
  公理
  命題	1-3,6-16補3,補2(義10-3),10-35	2-7,6-1,10-11,10-13,10-22,10-23系,10-79
  その他		背理法

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭