ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー１５（３項最小順次比例の２項和と１項の素）
もし
　順次に比例する３つの数が
　それらと同じ比をもつ数のうち
　最小である
ならば、
　どの２数をとっても、
　その和は
　残りの数に対して素
であろう。

• 順次に比例は、
  定義の補足（命題８ー１）による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• 同じ比は、
  定義５ー５による。
• 最小は、
  定義の補足３（命題３ー７）による。
• 対して素は、
  定義の補足（命題７ー２３）による。

　Ａ、Ｂ、Ｃを
　順次に比例し、
　それらと同じ比をもつ数のうち
　最小である３つの数
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ、Ｂ、Ｃは順次に比例（最小）
  となっている。
  

　Ａ、Ｂ、Ｃのうち
　任意の２数の和は
　残りの数に対し素である、
すなわち
　Ａ、Ｂの和はＣに、
　Ｂ、Ｃの和はＡに、
さらに
　Ａ、Ｃの和はＢに対し素である
と主張する。

　Ａ、Ｂ、Ｃと同じ比をもつ数のうち
　最小である２数ＤＥ、ＥＦがとられた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　Ａ：Ｂ＝ＤＥ：ＥＦ（最小）
  となっている。
  

そうすれば
　ＤＥは２乗してＡをつくり、
　ＥＦにかけてＢをつくり、
　さらにＥＦは２乗してＣをつくった
ことは明らかである。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　命題８ー２（構成.順次に比例する最小の数）
  による。
  
• 　ＤＥ^2＝Ａ、ＤＥ×ＥＦ＝Ｂ、
  　ＥＦ^2＝Ｃ
  となっている。
  

そして
　ＤＥ、ＥＦは最小である

• 　（ａ）による。

から、
　互いに素である。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題７ー２２（同じ比の最小の２数は互いに素）
  による。
  
• 　ＤＥ⊥ＥＦ
  となっている。

ところがもし
　二つの数が互いに素である
ならば、
　その和も双方に対して素である。

• 　命題７ー２８（互いに素の和・差は対して素）
  による。
  

それゆえ
　ＤＦは
　ＤＥ、ＥＦの双方に対して素である。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節による。
• 　ＤＦ⊥ＤＥ、ＥＦ
  となっている。

ところが
　ＤＥもＥＦに対し素である。

• 　（２）による。

ゆえに
　ＤＦ、ＤＥは
　ＥＦに対して素である。

• 　前節、前々節による。
• 　ＤＥ、ＤＦ⊥ＥＦ
  となっている。
  

ところがもし
　２数がある数に対して素である
ならば、
　それらの積も
　残りの数に対して素である。

• 　命題７ー２４（２数に素なら積にも素）
  による。
  

したがって
　ＦＤ、ＤＥの積は
　ＥＦに対し素である。

• 　ＦＤ×ＤＥ⊥ＥＦ
  となっている。

それゆえ
　ＦＤ、ＤＥの積も
　ＥＦの平方数に対し素である。

• 　前節、
  　命題７ー２５（対して素なら２乗も対して素）
  による。
  
• 　ＦＤ×ＤＥ⊥ＥＦ＾２
  となっている。
  

ところが
　ＦＤ、ＤＥの積は
　ＤＥの平方数とＤＥ、ＥＦの積との和である。

• 　命題２ー３（２分線分の全体と一つとによる矩形）
  による。
  

ゆえに
　ＤＥの平方数とＤＥ、ＥＦの積との和は
　ＥＦの平方数に対し素である。

• 　前節、前々節、
  　公理の補足２（命題７ー４）（約数(倍数)での代入の原理）
  による。
  

そして
　ＤＥの平方数はＡであり、
　ＤＥ、ＥＦの積はＢであり、
　ＥＦの平方数はＣである。

• 　（１）による。
• 　ＤＥ^2＝Ａ、ＤＥ×ＥＦ＝Ｂ
  　ＥＦ^2＝Ｃ
  となっている。
  

したがって
　Ａ、Ｂの和はＣに対し素である。

• 　前節
  　公理の補足２（命題７ー４）（約数(倍数)での代入の原理）
  による。
  
• 　Ａ＋Ｂ⊥Ｃ
  となっている。
  

同様にして
　Ｂ、Ｃの和がＡに対し素である
ことを証明しうる。

• 　ＤＦ、ＦＥの積で
  　同様に推論できる。
  
• Ｂ＋Ｃ⊥Ａ
  となっている。
  

次に
　Ａ、Ｃの和もＢに対し素である
と主張する。

　ＤＦは
　ＤＥ、ＥＦの双方に対し素である

• 　（３）による。

から、
　ＤＦの平方数も
　ＤＥ、ＥＦの積に対し素である。

• 　前節
  　命題７ー２４（２数に素なら積にも素）
  により、
  　ＤＦ⊥ＤＥ×ＥＦ
  となり、　
  　命題７ー２５（対して素なら２乗も対して素）
  による。
• 　ＤＦ^2⊥ＤＥ×ＥＦ
  となっている。
  

ところが
　ＤＥ、ＥＦの平方数と
　ＤＥ、ＥＦの積の２倍との和は
　ＤＦの平方数に等しい。

• 　命題２ー４（２分線分上の正方形）
  による。
  
• 　ＤＥ^2＋ＥＦ^2＋２×ＤＥ×ＥＦ
  　＝ＤＦ^2
  となっている。
  

それゆえ
　ＤＥ、ＥＦの平方数と
　ＤＥ、ＥＦの積の２倍との和は
　ＤＥ、ＥＦの積に対し素である。

• 　前節、前々節、
  　公理の補足２（命題７ー４）（約数(倍数)での代入の原理）
  による。
  
• 　ＤＥ^2＋ＥＦ^2＋２×ＤＥ×ＥＦ⊥ＤＥ×ＥＦ
  となっている。

　分割《比》により
　ＤＥ、ＥＦの平方数と
　ＤＥ、ＥＦの積を一度だけ加えた和は
　ＤＥ、ＥＦの積に対し素である。

• 　前節、
  　命題７ー２８（互いに素の和・差は対して素）
  による。
  

ゆえにさらに
　分割《比》により
　ＤＥ、ＥＦの平方数［の和］は
　ＤＥ、ＥＦの積に対し素である。

• 　ＤＥ^2＋ＥＦ^2⊥ＤＥ×ＥＦ
  となっている。

そして
　ＤＥの平方数はＡであり、
　ＤＥ、ＥＦの積はＢであり、
　ＥＦの平方数はＣである。

• 　ＤＥ^2＝Ａ、ＤＥ×ＥＦ＝Ｂ、
  　ＥＦ^2＝Ｃ
  となっている。
  

よって
　Ａ、Ｃの和はＢに対し素である。

• 　前節、前々節、
  　公理の補足２（命題７ー４）（約数(倍数)での代入の原理）
  による。
  

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー１５は、
  　Ａ、Ｂ、Ｃ；順次比例、
  　　同じ比をもつ数のうちで最小
  ならば、
  　Ａ＋ＢはＣと、Ｂ＋ＣはＡと、
  　Ｃ＋ＡはＢと互いに素である.
  
• 命題９ー１５は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理		補2(題7-4)
  命題	8-2	2-3,2-4,7-22,7-24,7-25,7-28
  その他	コ4(題7-1)

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