ユークリッド原論をどう読むか(13)
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ユークリッド原論

第9巻
 
命題9ー15(3項最小順次比例の2項和と1項の素)
もし
 順次に比例する3つの
 それらと同じ比をもつのうち
 最小である
ならば、
 どの2をとっても、
 その和は
 残りの対して素
であろう。




 A、B、Cを
 順次に比例し、
 それらと同じ比をもつのうち
 最小である3つの
とせよ。

 A、B、Cのうち
 任意の2の和は
 残りの対し素である、
すなわち
 A、Bの和はCに、
 B、Cの和はAに、
さらに
 A、Cの和はBに対し素である
と主張する。

 A、B、Cと同じ比をもつのうち
 最小である2DE、EFがとられた
とせよ。
      [......(a)]

そうすれば
 DEは2乗してAをつくり、
 EFにかけてBをつくり、
 さらにEFは2乗してCをつくった
ことは明らかである。
      [......(1)]

そして
 DE、EFは最小である

から、
 互いに素である。
      [......(2)]

ところがもし
 二つの互いに素である
ならば、
 その和も双方に対して素である。

それゆえ
 DFは
 DE、EFの双方に対して素である。
      [......(3)]

ところが
 DEもEFに対し素である。

ゆえに
 DF、DEは
 EFに対して素である。

ところがもし
 2がある対して素である
ならば、
 それらの
 残りの対して素である。

したがって
 FD、DEの
 EFに対し素である。

それゆえ
 FD、DEの
 EFの平方数対し素である。

ところが
 FD、DEの
 DEの平方数とDE、EFのとの和である。

ゆえに
 DEの平方数とDE、EFのとの和は
 EFの平方数対し素である。

そして
 DEの平方数はAであり、
 DE、EFのはBであり、
 EFの平方数はCである。

したがって
 A、Bの和はCに対し素である。

同様にして
 B、Cの和がAに対し素である
ことを証明しうる。

次に
 A、Cの和もBに対し素である
と主張する。

 DFは
 DE、EFの双方に対し素である

から、
 DFの平方数
 DE、EFの対し素である。

ところが
 DE、EFの平方数
 DE、EFの2倍との和は
 DFの平方数等しい

それゆえ
 DE、EFの平方数
 DE、EFの2倍との和は
 DE、EFの対し素である。

 分割《比》により
 DE、EFの平方数
 DE、EFのを一度だけ加えた和は
 DE、EFの対し素である。

ゆえにさらに
 分割《比》により
 DE、EFの平方数[の和]は
 DE、EFの対し素である。

そして
 DEの平方数はAであり、
 DE、EFのはBであり、
 EFの平方数はCである。

よって
 A、Cの和はBに対し素である。

 これが証明すべきことであった。

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