ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー２（構成.順次に比例する最小の数）
対
(順次比例の外項と平方数、立方数)
　順次に比例する、
　命じられた個数の、
　与えられた比をなす数のうちで
　最小のものを
　見いだすこと。

• 順次に比例は、 定義の補足（命題８ー１）による。
• 個数は、 定義５ー１７の補足による。
• 比は、 定義５ー３ による。
• 数は、 定義７ー２ による。
• 最小は、 定義の補足３（命題３ー７）による。

　Ａ対Ｂを
　最小の数における
　与えられた比
とせよ。

• Ａ対Ｂという表現が
  初めて登場する。
  Ａ対Ｂとは
  ＡのＢに対する比のことである。
  (以下、定義の補足（命題８ー２） という。)
  Euclid's Elements
  （Clark University Professor D.E.Joyceの
  http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html）
  　においては、
  the ratio of A to B
  となっている。
  上記の英文 には
  命題６−１９ （相似な三角形の比は辺の比の２乗）において、
  a ratio duplicate of that which BC has to EF
  という表現があり、
  中村幸四郎他訳では、
  ＢＣがＥＦに対する比の２乗の比
  となっている。
  また、
  上記の英文 には、
  命題６−２３ （等角な平行四辺形と辺の比の積）において、
  the ratios of K to L
  という表現もあり、
  中村幸四郎他訳では、
  ＫがＬに対する比
  となっている。
  同じ命題で、
  the ratio of K to M is compounded
  　of the ratio of K to L and of that of L to M
  という表現もある。
  中村幸四郎他訳では、
  ＫがＭに対する比は
  　ＫがＬに対する比と
  　ＬがＭに対する比との積である
  となっている。
  Ｋ対Ｍは
  　Ｋ対Ｌと
  　Ｌ対Ｍとの積である
  と表現しても
  　意味は変わらない
  から
  　英文ではこの段階で
  　Ａ対Ｂ
  　という表現が成立している
  と考えられる。　
  
• 「数（について）・・・とせよ」は、 コメント４（命題７ー１） を参照せよ。
• 　Ａ：Ｂ(最小)
  をとっている。

このとき
　順次に比例する、
　命じられた個数の、
　Ａ対Ｂの比をなす数のうちで
　最小のものを見いださね
ばならぬ。

　《４》［ｍ］を命じられた個数
とし、

• 準一般的な照明である。
  コメント２（命題５ー１） 参照のこと。

　Ａが
　２乗してＣ_1,1をつくり、
　Ｂにかけて《Ｄ》［Ｃ_1,2］をつくり、
　　　　　　[......(ａ)]

• 　Ｃ_1,1＝Ａ×Ａ、
  　Ｃ_1,2＝Ａ×Ｂ
  となっている。

さらに
　Ｂが２乗して《Ｅ》Ｃ_1,3をつくり、
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　Ｃ_1,3＝Ｂ×Ｂ
  となっている。

さらに
　Ａが《Ｃ、Ｄ、Ｅ》［Ｃ_1,1、Ｃ_1,2、Ｃ_1,3］にかけて
　《Ｆ、Ｇ、Ｈ》［Ｃ_2,1、Ｃ_2,2、Ｃ_2,3］をつくり、
　　　　　　[......(ｃ)]

• 　Ｃ_2,1＝Ａ×Ｃ_1,1＝Ａ×（Ａ×Ａ）、
  　Ｃ_2,2＝Ａ×Ｃ_1,2＝Ａ×（Ａ×Ｂ）、
  　Ｃ_2,3＝Ａ×Ｃ_1,3＝Ａ×（Ｂ×Ｂ）
  となっている。

　Ｂが《Ｅ》［Ｃ_1,3］にかけて《Ｋ》Ｃ_2,4をつくる［。
同様に、
　ＡがＣ_k,1、…、Ｃ_k,k+2にかけて
　Ｃ_k+1,1、…、Ｃ_k+1,k+2］をつくり、
　ＢがＣ_k,k+2にかけてＣ_k+1,k+3をつくる］
とせよ。
　　　　　　[......(ｄ)]

• 　Ｃ_2,4＝Ｂ×Ｃ_1,3＝Ｂ×(Ｂ×Ｂ）
  となっている。

そうすれば
　Ａが２乗して《Ｃ》［Ｃ_1,1］をつくり、
　Ｂにかけて《Ｄ》［Ｃ_1,2］をつくった
から、

• 　Ｃ_1,1＝Ａ×Ａ、
  　Ｃ_1,1＝Ａ×Ｂ
  となっている。

　ＡがＢに対するように、
　Ｃ［_1,1］が《Ｄ》［Ｄ_1,2］に対する。
　　　　　　[......(１)]

• 命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ_1,1：Ｃ_1,2
  となっている。

また
　ＡがＢにかけて《Ｄ》［Ｃ_1,2］をつくり、
　Ｂが２乗して《Ｅ》［Ｃ_1,3］をつくった

• 　Ｃ_1,2＝Ａ×Ｂ、
  　Ｃ_1,3＝Ｂ×Ｂ
  となっている。

から、
　Ａ、Ｂの双方はＢにかけて
　《Ｄ、Ｅ》［Ｃ_1,2、Ｃ_1,3］の双方をつくった。

• 　(Ｃ_1,2、Ｃ_1,3)＝(Ａ、Ｂ)×Ｂ
  となっている。

それゆえ
　ＡがＢに対するように、
　《ＤがＥ》［Ｃ_1,2がＣ_1,3］に対する。
　　　　　　[......(２)]

• 命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ_1,2：Ｃ_1,3
  となっている。

ところが
　ＡがＢに対するように、
　《ＣがＤ》［Ｃ_1,1がＣ_1,2］に対する。

• （１）による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ_1,1：Ｃ_1,2］
  となっている。

ゆえに
　《ＣがＤ》［Ｃ_1,1、Ｃ_1,2］に対するように、
　《ＤがＥ》［Ｃ_1,2がＣ_1,3］に対する。
　　　　　　[......(Ａ)]

• 前節、前々節、命題５ー１１　（同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ｃ_1,1、Ｃ_1,2＝Ｃ_1,2：Ｃ_1,3
  となっている。

そして
　Ａが《Ｃ、Ｄ》［Ｃ_1,1、Ｃ_1,2］にかけて
　《Ｆ、Ｇ》［Ｃ_2,1、Ｃ_2,2］をつくった

• （ｃ）による。
• 　(Ｃ_2,1、Ｃ_2,2)＝Ａ×(Ｃ_1,1、Ｃ_1,2)
  となっている。

から、
　《ＣがＤ》［Ｃ_1,1がＣ_1,2］に対するように、
　《ＦがＧ》［Ｃ_2,1がＣ_2,2］に対する。

• 命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
• 　Ｃ_1,1がＣ_1,2＝Ｃ_2,1：Ｃ_2,2
  となっている。

ところが
　《ＣがＤ》［Ｃ_1,1がＣ_1,2］に対するように、
　ＡがＢに対した。

• （１）による。
• 　Ｃ_1,1：Ｃ_1,2＝Ａ：Ｂ
  となっている。

したがって
　ＡがＢに対するように、
　《ＦがＧ》［Ｃ_2,1がＣ_2,2］に対する。
　　　　　　[......(３)]

• 前節、前々節、
  命題５ー１１　（同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ_2,1：Ｃ_2,2
  となっている。

また
　Ａが《Ｄ、Ｅ》［Ｃ_1,2、Ｃ_1,3］にかけて
　《Ｇ、Ｈ》［Ｃ_2,2、Ｃ_2,3］をつくった

• （ｃ）による。
• 　(Ｃ_2,2、Ｃ_2,3)＝Ａ×(Ｃ_1,2、Ｃ_1,3)
  となっている。

から、
　《ＤがＥ》［Ｃ_1,2がＣ_1,3］に対するように、
　《ＧがＨ》［Ｃ_2,2、Ｃ_2,3］に対する。

• 命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
• 　Ｃ_1,2：Ｃ_1,3＝Ｃ_2,2：Ｃ_2,3
  となっている。

ところが
　《ＤがＥ》［Ｃ_1,2がＣ_1,3］に対するように、
　ＡがＢに対する。

• （２）による。
• 　Ｃ_1,2：Ｃ_1,3＝Ａ：Ｂ
  となっている。

それゆえ
　ＡがＢに対するように、
　《ＧがＨ》［Ｃ_2,2、Ｃ_2,3］に対する。
　　　　　　[......(４)]

• 前節、前々節、命題５ー１１　（同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ_2,2：Ｃ_2,3
  となっている。

そして
　Ａ、Ｂが《Ｅ》［Ｃ_1,3］にかけて
　《Ｈ、Ｋ》［Ｃ_2,3：Ｃ_2,4］をつくった

• （ｃ）、 （ｄ）による。
• 　(Ｃ_2,3、Ｃ_2,4)＝(Ａ、Ｂ)×Ｃ_1,3
  となっている。

から、
　ＡがＢに対するように、
　《ＨがＫ》［Ｃ_2,3がＣ_2,4］に対する。

• 命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ_2,3：Ｃ_2,4
  となっている。

ところが
　ＡがＢに対するように、
　《ＦがＧ》［Ｃ_2,1がＣ_2,2］に、
　《ＧがＨ》［Ｃ_2,2がＣ_2,3］に対する。

• （３）、 （４）による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ_2,1：Ｃ_2,2＝Ｃ_2,2：Ｃ_2,3
  となっている。

ゆえに
　《ＦがＧ》［Ｃ_2,1がＣ_2,2］に対するように、
　《ＧがＨ》［Ｃ_2,2がＣ_2,3］に、
　《ＨがＫ》［Ｃ_2,3がＣ_2,4］に対する。

• 前節、前々節、命題５ー１１　（同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ｃ_2,1：Ｃ_2,2＝Ｃ_2,2：Ｃ_2,3＝Ｃ_2,3：Ｃ_2,4
  となっている。

したがって
　《Ｃ、Ｄ、Ｅ》［Ｃ_1,1、Ｃ_1,2、Ｃ_1,3］と
　《Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｋ》［Ｃ_2,1、Ｃ_2,2、Ｃ_2,3、Ｃ_2,4］とは
　Ａ対Ｂの比をなして比例する。
［同様に、 　Ｃ_k,1、Ｃ_k,2、…、Ｃ_k,k+2と
　Ｃ_k+1,1、Ｃ_k+1,2、…、Ｃ_k+1,k+2、Ｃ_k+1,k+3とは
　Ａ対Ｂの比をなして比例する。］

• （１）、 （Ａ）、 前節、前々節による。
• 　Ｃ_1,1：Ｃ_1,2＝Ｃ_1,2：Ｃ_1,3＝Ａ：Ｂ、
  　Ｃ_2,1：Ｃ_2,2＝Ｃ_2,2：Ｃ_2,3＝Ｃ_2,3：Ｃ_2,4＝Ａ：Ｂ、
  　…
  　Ｃ_k,1：Ｃ_k,2＝…＝Ｃ_k,k+1：Ｃ_k,k+2＝Ａ：Ｂ、
  　Ｃ_k+1,1：Ｃ_k+1,2＝…＝Ｃ_k+1,k+2：Ｃ_k+1,k+3＝Ａ：Ｂ、
  となっている。

次に
　最小でもある
と主張する。

なぜなら
　Ａ、Ｂは
　それらと同じ比をもつ数のうち最小であり、

• 命題の設定による。
• 「なぜなら・・・であるから」は、 コメント２（命題１ー１６） 参照のこと。
• 　Ａ：Ｂ；(最小)
  となっている。

　同じ比をもつ数のなかで最小である数は
　互いに素である

• 命題７ー２２（同じ比の最小の２数は互いに素）
  による。

から、
　Ａ、Ｂは
　互いに素である。

• 　Ａ;(互いに素)Ｂ
  となっている。

そして
　Ａ、Ｂは２乗して
　それぞれ《Ｃ、Ｅ》［Ｃ_1,1、Ｃ_1,3］をつくり、

• （ａ）、 （ｂ）、 による。
• 　(Ｃ_1,1、Ｃ_1,3)＝(Ａ×Ａ、Ｂ×Ｂ)
  となっている。

　《Ｃ、Ｅ》［Ｃ_1,1、Ｃ_1,3］にかけて
　それぞれ《Ｆ、Ｋ》［Ｃ_2,1、Ｃ_2,3］をつくった。
［同様に、 　Ｃ_k,1、Ｃ_k,k+2にかけて
　Ｃ_k+1,1、Ｃ_k+1,k+3をつくった。］

• （ｃ）、 （ｄ）、 による。
• 　(Ｃ_2,1、Ｃ_2,3)＝(Ａ×Ｃ_1,1、Ｂ×Ｃ_1,3)、
  　(Ｃ_k+1,1、Ｃ_k+1,k+3)＝(Ａ×Ｃ_k,1、Ｂ×Ｃ_k,k+2)
  となっている。

したがって
　《Ｃ》［Ｃ_1,1］は《Ｅ》［Ｃ_1,3］と、
　《Ｆ》［Ｃ_2,1］は《Ｋ》［Ｃ_2,4］と互いに素である。
［同様に
　Ｃ_k+1,1はＣ_k+1,k+3と互いに素である。］

• 命題７ー２７（互いに素の２(３)乗は互いに素）
  による。
• 　Ｃ_1,1;(互いに素)Ｃ_1,3、
  　Ｃ_2,1;(互いに素)Ｃ_2,4
  　…
  　Ｃ_k+1,1;(互いに素)Ｃ_k+1,k+3
  となっている。

ところがもし
　順次に比例する任意個の数があり、
　それらの外項が互いに素である
ならば、
　それらと同じ比をもつ数のうち最小である。
　

• 命題８ー１（順次比例の外項が互に素）
  による。

それゆえ
　《Ｃ、Ｄ、Ｅ》［Ｃ_1,1、Ｃ_1,2、Ｃ_1,3］と
　《Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｋ》［Ｃ_2,1、Ｃ_2,2、Ｃ_2,3、Ｃ_2,4］とは
　Ａ、Ｂと同じ比をもつ数のなかで最小である。
［さらに、
　Ｃ_k+1,1、Ｃ_k+1,2、…、Ｃ_k+1,k+2、Ｃ_k+1,k+3は
　Ａ、Ｂと同じ比をもつ数のなかで最小である。］

• 前節、前々節による。
• 　Ｃ_1,1：Ｃ_1,2＝Ｃ_1,2：Ｃ_1,3;(最小３項)
  　Ｃ_2,1：Ｃ_2,2＝Ｃ_2,2：Ｃ_2,3＝Ｃ_2,3：Ｃ_2,4;(最小４項)
  　…
  　Ｃ_k+1,1：Ｃ_k+1,2＝…＝Ｃ_k+1,k+2：Ｃ_k+1,k+3(最小k+3項)
  となっている。

これが証明すべきことであった。

系
これから
　次のことが明らかである、
すなわち
もし
　順次に比例する三つの数が
　それらと同じ比をもつ数のうち最小である
ならば、
　それらの外項は平方数であり、
もし
　四つの数である
ならば、
　立方数である。
(以下、命題８ー２の系２(順次比例の外項と平方数、立方数)という。)

• 命題８ー２は、
  　Ａ：Ｂ(最小)
  をとれば、
  　Ａ^2：ＡＢ＝ＡＢ：Ｂ^2(最小３項)
  　Ａ^3：Ａ^2Ｂ＝Ａ^2Ｂ：ＡＢ^2＝ＡＢ^2：Ｂ^3(最小４項)
  [以下同様］
  のことである。
• 命題８ー２の系２(順次比例の外項と平方数、立方数)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		8-2
  その他

• 命題８ー２は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		5-11,7-17,7-22,7-27,8-1
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題1-16),コ2(題5-1)

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