ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論
第７巻
命題７ー２４（２数に素なら積にも素）
(互いに素な３個以上の数は仮想的)
もし
２つの数が
任意の数に対して素である
ならば、
それらの積も
同じ数に対して素
であろう。
２数Ａ、Ｂが
任意の数Ｃに対し素である
とし、
ＡがＢにかけてＤをつくる
とせよ。
-
「数（について）・・・とせよ」は、
コメント４（命題７ー１）
参照のこと。
-
命題７ー２３の補足２(構成.互いに素(最小数の比)の２数)
により、
(数Ａ：数Ｃ);(最小数の比)
をとり、
数Ｂ(;;(互いに素)Ｃ)
としている。
Ｄ＝Ａ×Ｂ
をとっている。
なお、
最後の部分により、
現段階では、
互いに素な３個以上の数を
とるのは仮想的である。
(以下、コメント(命題７ー２４)(互いに素な３個以上の数は仮想的)という。)
実際的にとるには
命題７ー３２の補足(数の素因数分解の一意性)、
命題９ー２０（素数は無数）
が要請されるので
命題９ー２０の補足２(構成.互いに素な任意個の数)
まで待たねばならない。
Ｃ、Ｄは互いに素である
と主張する。
もし
Ｃ、Ｄが
互いに素でない
ならば、
何らかの数がＣ、Ｄを割り切る
であろう。
割り切る
とし、
それをＥ
とせよ。
[......(ａ)]
Ｃ、Ａは
互いに素であり、
-
命題の設定である。
-
Ｃ(互いに素)Ｄ
となっている。
［何らかの］数Ｅが
Ｃを割り切る
から、
Ａ、Ｅは
互いに素である。
[......(１)]
-
命題７ー２３（互いに素な数の約数は互いに素）
による。
-
Ａ(互いに素)Ｅ
となっている。
そこで
ＥがＤを割った商に等しい個数の
単位が
Ｆのなかにある
とせよ。
[......(ｂ)]
-
推論の設定（ａ）
による。
-
数Ｆ(;;個数(Ｆ,単位)＝(商(Ｄ,Ｅ);＝ｆ))
をとっている。
そうすれば
ＦがＤを割った商は
Ｅのなかにある単位の個数である。
-
命題７ー１５（割る数と商のいれかえ）
による。
-
個数(Ｅ,単位)＝(商(Ｄ,Ｆ);＝ｅ)
となっている。
ゆえに
Ｅは
ＦにかけてＤをつくった。
-
Ｅ×Ｆ＝Ｄ
となっている。
つまり、
ＦがＥ個でＤとなる
ということである。
ところが
Ａは
ＢにかけてＤをつくった。
したがって
Ｅ、Ｆの積は
Ａ、Ｂの積に等しい。
-
前節、前々節の結果、
公理１ー１（同じものに等しいものは等しい）
による。
-
Ｅ×Ｆ＝Ａ×Ｄ
となっている。
ところが
もし
外項の積が
内項の積に等しけれ
ば、
４つの数は比例する。
それゆえ
ＥがＡに対するように、
ＢがＦに対する。
[......(２)]
-
前々節の結果による。
-
Ｅ×Ｆを外項の積、
Ａ×Ｂを内項の積
と見なしている。
-
Ｅ：Ａ＝Ｂ：Ｆ
となっている。
ところが
Ａ、Ｅは【互いに】素であり、
-
（１）
による。
-
Ａ(互いに素)Ｅ
となっている。
【互いに】素である数は【同じ比の】最小であり、
同じ比をもつ２数のうち
最小の数は
それらと同じ比をもつ２数を、
大きい数が大きい数を、
小さい数が小さい数を、
すなわち
前項が前項を、
後項が後項を割り切り
その商は
等しい。
-
命題７ー２０
（同じ比なら最小のが割り切る）
のことである。
ゆえに
ＥはＢを割り切る。
ところが
Ｃをも割り切る。
したがって
Ｅは
互いに素であるＢ、Ｃを割り切る
ことになる。
-
命題の設定、
前節、前々節の結果による。
-
Ｅ｜(Ｂ、(Ｃ;(互いに素)Ｂ)
となっている。
これは不可能である。
ゆえに
いかなる数も
数Ｃ、Ｄを割り切らない
であろう。
よって
Ｃ、Ｄは互いに素である。
-
定義７ー１３（互いに素）
による。
-
Ｃ(互いに素)Ｄ
となっている。
これが証明すべきことであった。
- 命題７ー２４は、
Ｃ(互いに素)(Ａ、Ｂ)
をとれば、
Ｃ(互いに素)Ａ×Ｂ
のことである。
- 命題７ー２４は推論用命題である。
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