ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー１４（素数の積の約数）
もし
　ある数が
　あるいくつかの素数に
　割り切られる最小の数である
ならば、
　最初からそれを割り切る素数以外の
　他のいかなる素数にも
　割り切られない
であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 素数は、
  定義７ー１２による。
• 割り切るは、
  定義５ー１の補足２による。
• 最小は、
  定義の補足３（命題３ー７）による。

　Ａを
　素数Ｂ、Ｃ、 Ｄ に割り切られる
　最小の数
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ｂ、Ｃ、Ｄは素数
  　Ｂ、Ｃ、Ｄ｜Ａ（最小）
  となっている。
  

　Ａは
　Ｂ、Ｃ、Ｄ以外の
　他のいかなる素数にも
　割り切れない
であろうと主張する。

もし可能ならば

• 　「もし可能ならば」は、
  　コメント２(命題１−７）
  　参照のこと。
  
• 　準一般的な証明である。
  　コメント２（命題５ー１）
  　参照のこと。
  
• 　背理法の仮定を述べようとしている。

　［Ａが］
　素数Ｅに割り切られる
とし、
　ＥがＢ、Ｃ、Ｄのいずれとも
　同じでない
とせよ。

• 　背理法の仮定である。
• 　Ｅ｜Ａ、
  　Ｅ≠Ｂ、Ｃ、Ｄ
  となっている。
  

そうすれば
　ＥはＡを割り切る

• 　背理法の仮定による。

から、
　その商をＦ
とせよ。

• 　Ａ／Ｅ＝Ｆ
  となっている。
  

そうすれば
　ＥはＦにかけてＡをつくった。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ｅ×Ｆ＝Ａ
  となっている。
  

そして
　Ａは素数Ｂ、Ｃ、Ｄに割り切られる。

• 　背理法の仮定による。

　Ｂ、Ｃ、Ｄ｜Ａ
となっている。

ところがもし
　２つの数が
　互いにかけあわせてある数をつくり、
　その積を
　ある素数が割り切る
ならば、
　それは最初の２数の１つをも割り切る
であろう。

• 　命題７ー３０（素数は積を割り切れば一方を割り切る）
  のことである。
  

ゆえに
　Ｂ、Ｃ、Ｄは
　Ｅ、Ｆの１つを割り切る
であろう。

• 　前節による。

さて
　Ｅを割り切りはしない
であろう。

なぜなら
　Ｅは素数であり、
　Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれとも同じでない
から。

• 　背理法の仮定による。

したがって
　Ａより小さいＦを割り切る。

• 　（１）、
  　命題の補足（定義７ー３）（割り切る数は小さい）
  による。
  

　これは不可能である。

なぜなら
　Ａは
　Ｂ、Ｃ、Ｄに割り切られる最小の数である
と仮定されるから。

• 　背理法の仮定による。
• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
  

よって
　Ｂ、Ｃ、Ｄ以外の
　他のいかなる素数もＡを割り切らない
であろう。

• 　背理法による。

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー１４は、
  　素数Ｂ、Ｃ、Ｄ｜Ａ（最小）
  ならば、
  　（これ以外の素数）¬｜Ａ
  のことである。
• 命題９ー１４は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		補(義7-3), 補4(義7-16),7-30
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題1-7),コ2(題1-16),コ2(題5-1),背理法

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