ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー１６（互に素な比の第２項と第３項）
もし
　２数が互いに素である
ならば、
　第１の数が第２の数に対するように、
　第２の数は他のいかなる数にも対さない
であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 互いに素は、
  定義７ー１３による。
• 対する・ようには、
  定義の補足３（命題５ー１１）による。

　２数Ａ、Ｂが互いに素である
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ⊥Ｂ
  となっている。

　ＡがＢに対するように、
　Ｂが他のいかなる数にも対さない
と主張する。

もし可能ならば

• 　「もし可能ならば」は、
  　コメント２(命題１−７）
  　参照のこと
  

　ＡがＢに対するように、
　ＢがＣに対する
とせよ。

• 　背理法の仮定である。
• 　数Ｃがあって、
  　Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｃ
  としている。
  

ところが
　Ａ、Ｂは［互いに］素であり、

• 　命題の設定による。
• 　Ａ⊥Ｂ
  となっている。
  

　［互いに］素であるものは最小であり、

• 　命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
  による。
  

　最小である数は
　同じ比をもつ数を割り切り、
　前項が前項を、
　後項が後項を割り切り、
　その商は等しい。

• 　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ（最小）＝Ｂ：Ｃ
  としている。
  

それゆえ
　前項が前項を、
　すなわち
　ＡがＢを割り切る。

• 　Ａ｜Ｂ
  となるはずである。
  

しかも
　Ａは自分自身をも割り切る。

• 　命題７−２の補足２（数は自分自身を割り切る）
  により、
  　Ａ｜Ａ
  となっている。

ゆえに
　Ａは
　互いに素であるＡ、Ｂを割り切る。

• 　前節、前々節、
  　定義７ー１３（互いに素）
  による。
  

　これは不合理である。

したがって
　ＡがＢに対するように、
　ＢがＣに対することはない
であろう。

• 　背理法による。

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー１６は、
  　Ａ、Ｂ；互いに素
  ならば、
  　任意の自然数Ｃについて、
  　Ａ：Ｂ≠Ｂ：Ｃ
  のことである。
  
• 命題９ー１６は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-13
  公準
  公理
  命題		7-2補2,7-20,7-21
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題1-7),背理法

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