ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー１３（素数の累乗はその累乗だけが割り切る）
もし
　任意個の数が
　単位から始まり
　順次に比例し,
　単位の次の数が素数である
ならば,
　最大の数は
　比例する数のなかにある数以外の
　いかなる数にも割り切られない
であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 単位は、
  定義７ー１による。
• 順次に比例は、
  定義の補足（命題８ー１）による。
• 素数は、
  定義７ー１２による。
• 最大は、
  定義の補足３（命題３ー７）による。
• 比例は、
  定義７ー２１による。
• 割り切るは、
  定義５ー１の補足２による。

　単位から始まり
　順次に比例する数
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがある
とし、
　単位の次の数Ａが素数である
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　準一般的な証明である。
  　コメント２（命題５ー１）
  　参照のこと。
  
• 　１、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ
  　が順次に比例し、
  　Ａが素数
  となっている。

　それらのうちで最大の数Ｄは
　Ａ、Ｂ、Ｃ以外の他のいかなる数にも
　割り切られない
であろうと主張する。

もし
　可能ならば

• 　「もし可能ならば」は、
  　コメント２(命題１−７）
  　参照のこと。
  
• 　背理法の仮定を述べようとしている。

　［Ｄが］
　Ｅによって割り切られる
とし、
　ＥがＡ、Ｂ、Ｃのいずれとも
　同じでない
とせよ。

• 　背理法の仮定である。
• 　Ｅ｜Ｄ、
  　ＥはＡ、Ｂ、Ｃではない
  となっている。
  

そうすれば
　Ｅが素数でない
ことは明らかである。

なぜならもし

• 　「なぜならもし」は、
  　コメント（命題１ー４）
  　参照のこと。
  
• 　１つ目の第二段階の背理法である。

　Ｅが素数≪であり≫
［ならば］、

• 　第二段階の仮定を述べている。

　Ｄを割り切る

• 　背理法の仮定による。
• 　Ｅ｜Ｄ、
  　Ｅは素数
  となっている。

≪ならば≫［から］、
　［Ａ、Ｂ、Ｃと異なる素数Ｅが］ 　素数であるＡをも
　それと同じでないのに割り切る
ことになるであろう。

• 　前節、
  　命題９ー１２（素数がＡ^nを整除ならＡも整除）
  による。
  

　これは不可能である。

• 　定義７ー１２（素数）
  による。
  

それゆえ
　Ｅは素数でない。

• 　１つ目の第二段階の背理法による。

ゆえに
　合成数である。

• 　定義７ー１４（合成数）
  による。
  

ところが
　すべての合成数は
　何らかの素数に割り切られる。

• 　命題７ー３１（合成数を割り切る素数の存在）
  による。
  

したがって
　Ｅは何らかの素数に割り切られる。
　　　　　　[......(１)]

次に
　Ａ以外のいかなる素数にも
　割り切られない
であろうと主張する。

なぜならもし

• 　「なぜならもし」は、
  　コメント（命題１ー４）
  　参照のこと。
  
• 　２つ目の第二段階の背理法である。
  

　Ｅが［Ａの］他の［素］数に割り切られ、

• 　第二段階の背理法の仮定である。

　ＥがＤを割り切る

• 　背理法の仮定による。

ならば、
　その［Ａの］他の［素］数もＤを割り切る
であろう。

• 　前節、
  　公理の補足２（命題７ー４）（約数(倍数)での代入の原理）
  による。
  

したがって
　［Ａの他の素数が］
　素数であるＡをも
　それと同じでないのに割り切る
であろう。

　これは不可能である。

• 　定義７ー１２（素数）
  による。
  

ゆえに
　ＡはＥを割り切る。
　　　　　　[......(２)]

• 　２つ目の第二段階の背理法により、
  　Ａ以外の素数は
  　Ｅを割り切らない。
  ところが
  　（１）による。
  　

そして
　ＥはＤを割り切る

• 　背理法の仮定による。

から、
　その商をＦとせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　Ｄ／Ｅ＝Ｆ
  となっている。
  
• 　　命題７ー１５（割る数と商のいれかえ）
  により
  　Ｄ／Ｆ＝Ｅ
  ともなっている。

　ＦはＡ、Ｂ、Ｃのいずれとも
　同じでない
と主張する。

もし
　ＦがＡ、Ｂ、Ｃの一つと同じ
《であり》［ならば］、

• 　３つ目の第二段階の背理法の仮定である。

　［Ｆが］
　Ｄを割った商が
　Ｅである

• 　前々節により、
  　Ｄ／Ｅ＝Ｆ
  となっており、
  　命題７ー１５（割る数と商のいれかえ）
  による。
  
• 　Ｄ／Ｆ＝Ｅ
  となっている。

《ならば》［から］、
　Ａ、Ｂ、Ｃの一つが
　Ｄを割った商もＥである。

• 　第二段階の背理法の仮定による。

ところが
　Ａ、Ｂ、Ｃの一つが
　Ｄを割った商は
　Ａ、Ｂ、Ｃのいずれかである。

• 　命題９ー１１（順次比例数内での商）
  による。
  

したがって
　ＥはＡ、Ｂ、Ｃの一つと
　同じである。

• 　前節、 （ａ）、 　公理１ー１（同じものに等しい） による。

　これは仮定に反する。

• 　第一段階の背理法の仮定に反する。

それゆえ
　ＦはＡ、Ｂ、Ｃの一つと
　同じではない。
　　　　　　[......(３)]

• 　３つ目の第二段階の背理法による。
• 　Ｄ／Ｅ＝Ｆ、
  　Ｄ／Ｆ＝Ｅ
  となっている。

同様にして
　Ｆが素数でない
ことを証明することによって
　ＦがＡに割り切られる
ことを証明しうる。
　　　　　　[......(４)]

• 　ＦがＡで割り切られることについて、
  　Ｅの証明と
  　同様にということである。
  　１つ目の第二段階の背理法以降
  　２つ目の第二段階の背理法の結論（２）までを参照のこと。
  
• 　Ｄ／Ｅ＝Ｆ、
  　Ｄ／Ｆ＝Ｅ
  となっている。

なぜならもし

• 　「なぜならもし」は、
  　コメント（命題１ー４）
  　参照のこと。
  
• 　前節に、
  　「同様にして」
  とあることから、
  　以下は
  　後世の解説が
  　紛れ込んだ可能性が高い。
  
• 　４つ目の第二段階の背理法である。
  

　Ｆが素数であ《り、》［る
ならば］

• 　４つ目の第二段階の背理法の仮定である。

　Ｄを割り切る

• 　（ａ）による。
• 　Ｄ／Ｆ＝Ｅ
  となっている。

《ならば、》［から］
　［素数Ｆが］
　素数であるＡをも
　それと同じでないのに割り切る
であろう。

• 　前節、
  （３）、
  　命題９ー１２（素数がＡ^nを整除ならＡも整除）
  による。
  
• 　Ｆは素数で、
  　Ａ、Ｂ、Ｃと異なり、
  　Ｆ｜Ａ
  となっている。

　これは不可能である。

• 　定義７ー１２（素数） による。

ゆえに
　Ｆは素数でない。

• 　４つ目の第二段階の背理法による。

したがって
　合成数である。

• 　定義７ー１４（合成数）
  による。

ところが
　すべての合成数は
　何らかの素数に割り切られる。

• 　命題７ー３１（合成数を割り切る素数の存在）
  による。
  

それゆえ
　Ｆは何らかの素数に割り切られる。

• 　前節、前々節による。

次に
　Ａ以外のいかなる素数にも
　割り切られないであろう
と主張する。

なぜなら［もし］

• 　「なぜならもし」は、
  　コメント（命題１ー４）
  　参照のこと。
  
• 　５つ目の第二段階の背理法である。
  

　何らかの［Ａの］他の素数がＦを割り切《り、》［る
ならば、］

• 　第二段階の背理法の仮定である。

　ＦがＤを割り切る

• 　（ａ）による。

《ならば》［から］、
　その［Ａの］他の素数もＤを割り切る
であろう。

• 　前節。前々節、
  　命題９ー１２（素数がＡ^nを整除ならＡも整除）
  による。
  
• 　（Ｆの約数でＡの他の素数）｜Ａ
  となっている。

ゆえに
　［Ｆの約数でＡの他の素数が］
　素数であるＡをも
　それと同じでないのに割り切る
であろう。

　これは不可能である。

• 　定義７ー１２（素数）
  による。
  

したがって
　ＡはＦを割り切る。
　　　　　[......(５)]

• 　５つ目の第二段階の背理法による。
• 　Ａ｜Ｆとなっている。
• 　ここまでが、
  　（４）に関する説明である。

そして
　ＥがＤを割った商はＦである

• 　（ａ）による。
  
• 　Ｄ／Ｅ＝Ｆ
  となっている。

から、
　ＥはＦにかけてＤをつくった。

• 　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ｅ×Ｆ＝Ｄ
  となっている。

ところが
　ＡもＣにかけてＤをつくった。

• 　命題９ー１１の系 （ａ^n／ａ^r＝ａ^(n-r)） により、
  　Ｄ／Ｃ＝Ａ
  となっており、
  　Ａ×Ｃ＝Ｄ
  となっている。
  

したがって
　Ａ、Ｃの積はＥ、Ｆの積に等しい。

• 　前節、前々節
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ａ×Ｃ＝Ｅ×Ｆ
  となっている。

ゆえに
　比例し、ＡがＥに対するように、
　ＦがＣに対する。

• 　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ａ：Ｅ＝Ｆ：Ｃ
  となっている。

ところが
　ＡはＥを割り切る。

• 　（２）による。
• 　Ａ｜Ｅ
  となっている。　

それゆえ
　ＦもＣを割り切る。

• 　前節、前々節、
  　定義７−２１（比例） による。
• 　Ｆ｜Ｃ
  となっている。

　その商［Ｃ／Ｆ］をＧ
とせよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

同様にして
　ＧがＡ、Ｂのどちらとも同じでなく、
　Ａに割り切られる
ことを証明しうる。
　　　　　　[......(６)]

• 　ＧがＡ、Ｂと同じでないこと、
  　ＧがＡで割り切られることについて
  　Ｆの証明と同様にということである。
  　３つ目の第二段階の背理法以降
  　５つ目の第二段階の背理法の結論（５）までを参照のこと。
  
• 　Ｆの場合は、
  　解説が入っていた。
• 　Ｃ／Ｆ＝Ｇ、
  　Ａ｜Ｇ
  となっている。

そして
　ＦがＣを割った商はＧである

• 　（ｂ）による。
• 　Ｃ／Ｆ＝Ｇ
  となっている。

から、
　ＦはＧにかけてＣをつくった。

• 　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ｆ×Ｇ＝Ｃ
  となっている。

ところが
　ＡもＢにかけてＣをつくった。

• 　命題９ー１１の系 （ａ^n／ａ^r＝ａ^(n-r)） により、
  　Ｃ／Ｂ＝Ａ
  となっており、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  となっている。
  

したがって
　Ａ、Ｂの積はＦ、Ｇの積に等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ａ×Ｂ＝Ｆ×Ｇ
  となっている。

それゆえ
　比例し、
　ＡがＦに対するように、
　ＧがＢに対する。

• 　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ａ：Ｆ＝Ｇ：Ｂ
  となっている。

ところが
　ＡはＦを割り切る。

• 　（５）による。
• 　Ａ｜Ｆ
  となっている。

ゆえに
　ＧもＢを割り切る。

• 　定義７−２１（比例）
  による。
• 　Ｇ｜Ｂ
  となっている。

　その商をＨ
とせよ。
　　　　　　[......(ｃ)]

• 　Ｂ／Ｇ＝Ｈ
  となっている。

同様にして
　ＨはＡと同じでない
ことを証明しうる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（７）

• 　ＨがＡと同じでないことについて
  　Ｆの証明と同様にということである。
  　３つ目の第二段階の背理法以降
  　３つ目の第二段階の背理法の結論（３）までを参照のこと。
  
• ６つ目の第二段階の背理法として、
  もし
  　ＨがＡと同じ
  ならば
  　ＧがＡと同じ
  になり、
  　ＧがＡ、Ｂと同じでない
  という前提に反する。
  　６つ目の第二段階の背理法
  により
  　ＨはＡと同じでないことがわかる。
  

そして
　ＧがＢを割った商はＨである

• 　前々節による。
• 　Ｇ／Ｂ＝Ｈ
  となっている。

から、
　ＧはＨにかけてＢをつくった。

• 　前節、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• Ｇ×Ｈ＝Ｂ
  となっている。
  

ところが
　Ａは２乗してＢをつくった。

• 　命題の設定による。

したがって
　Ｈ、Ｇの積はＡの平方数に等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１−１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ｈ×Ｇ＝Ａ^2
  となっている。
  

ゆえに
　ＨがＡに対するように、
　ＡがＧに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ｈ：Ａ＝Ａ：Ｇ
  となっている。
  

ところが
　ＡはＧを割り切る。

• 　（６）による。
  

それゆえ
　Ｈも素数であるＡを
　それと同じでないのに割り切る
ことになる。

• 　定義７−２１（比例）
  による。
  

　これは不合理である。

• 　（７）による。

したがって
　最大の数Ｄは
　Ａ、 Ｂ、 Ｃ以外の他のいかなる数にも
　割り切られない
であろう。

• 　第一段階の背理法による。

　これが証明すべきことであった。

• 　同様にという表現で、
  　第二段階の背理法を省略している。
  
• 命題９ー１３は、
  　１,Ａ1,Ａ2,…,Ａn；順次比例
  のとき、
  　Ａ１；素数
  ならば、
  　(この数の列以外の数)¬｜Ａn
  のことである。
  
• 命題９ー１３は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-12,7-14,7-21
  公準
  公理		1-1,補2(題7-4)
  命題		補4(義7-16),7-15,7-19,7-31,9-11,9-11系,9-12
  その他	コ4(題7-1)	コ(題1-4),コ2(題1-7),コ2(題5-1), 第二段階の背理法

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