ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー１２（素数がＡ^nを整除ならＡも整除）
もし
　任意個の数が
　単位から始まり順次に比例する
ならば、
　最後の数が
　いくつの素数に割り切られ
ようと、
　その同じ素数によって
　単位の次の数も割り切られる
であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 単位は、
  定義７ー１による。
• 順次に比例は、
  定義の補足（命題８ー１）による。
• 素数は、
  定義７ー１２による。
• 割り切るは、
  定義５ー１の補足２による。

　単位から始まり
　順次に比例する任意個の
　数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがある
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　１：Ａ＝Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｃ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。
  

　Ｄが
　いくつの素数に割り切られ
ようと、
　Ａも同じ素数に割り切られる
であろうと主張する。

　Ｄが
　ある素数Ｅによって割り切られる
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

　ＥはＡを割り切る
と主張する。

　割り切らない
とせよ、

• 　背理法の仮定である。
• 　Ｅnot｜Ａ
  となっている。
  

そうすれぱ
　Ｅは素数であり、

• 　（ａ）による。

　すべての素数は
　それが割り切らない
　すべての数に対して素である。

• 　命題７ー２９（素数は倍数以外に対して素）
  による。
  

それゆえ
　Ｅ、Ａは互いに素である。
　　　　　　[......(１)]

• 　Ｅ⊥Ａ
  となっている。
  

そして
　ＥはＤを割り切る

• 　（ａ）による。

から、
　その商をＦ
とせよ｡

• 　Ｄ／Ｅ＝Ｆ
  となっている。
  

そうすれば
　ＥはＦにかけてＤをつくった。
　　　　　　[......(２)]

• 　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ｅ×Ｆ＝Ｄ
  となっている。
  

また
　ＡがＤを割った商は
　Ｃのなかにある単位の個数である

• 　命題９ー１１の補足（ａ^n／ａ^r＝ａ^(n-r)）
  による。
  
• 　Ｄ／Ａ＝Ｃ
  となっている。
  

から、
　ＡはＣにかけてＤをつくった。

• 　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ａ×Ｃ＝Ｄ
  となっている。
  

ところが
　ＥはＦにかけてＤをつくった。

• 　（２）による。
• 　Ｅ×Ｆ＝Ｄ
  となっている。
  

したがって
　Ａ、Ｃの積は
　Ｅ、Ｆの積に等しい。

• 　前節、前々節による。
• 　Ａ×Ｃ＝Ｅ×Ｆ
  となっている。
  

それゆえ、
　ＡがＥに対するように、
　ＦがＣに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ａ：Ｅ＝Ｆ：Ｃ
  となっている。
  

ところが
　Ａ、Ｅは［互いに］素であり、

• 　（１）による。
• 　Ａ⊥Ｅ
  となっている。

　［互いに］素である数は最小であり、

• 　命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
  による。
  　Ｆ：Ｃ＝Ａ：Ｅ（最小）
  となっている。

　最小の数は
　同じ比をもつ数を割り切り、
　前項が前項を、
　後項が後項を割り切り、
　その商は等しい。

• 　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  のことである。
  

ゆえに
　ＥはＣを割り切る。

• 　前節、前々節による。
• 　Ｅ｜Ｃ
  となっている。
  

　その商をＧ
とせよ｡

• 　Ｃ／Ｅ＝Ｇ
  となっている。

そうすれば
　ＥはＧにかけてＣをつくった。

• 　前節、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ｅ×Ｇ＝Ｃ
  となっている。
  

ところが
　この前の定理により
　ＡもＢにかけてＣをつくった。

• 　Ａは単位の後１つ目
  だから、
  　命題９ー１１の補足 （ａ^n／ａ^r＝ａ^(n-r)）
  により、
  　ＣはＡで割る
  と
  　商はＣの前１つ目のＢ
  となり
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  となっている。

　 それゆえ
　Ａ、Ｂの積はＥ、Ｇの積に等しい。

• 　前節、前々節
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ａ×Ｂ＝Ｅ×Ｇ
  となっている。
  

ゆえに
　ＡがＥに対するように、
　ＧがＢに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ａ：Ｅ＝Ｇ：Ｂ
  となっている。
  

ところが、
　Ａ、Ｅは［互いに］素であり、

• 　（１）による。

　［互いに］素である数は最小であり、

• 　命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
  による。
  

　最小の数は
　それらと同じ比をもつ数を割り切り、
　前項が前項を、
　後項が後項を割り切り、
　その商は等しい。

• 　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  による。
  

したがって
　ＥはＢを割り切る。

• 　Ｅ｜Ｂ
  となっている。　
  

　その商をＨ
とせよ。

• 　Ｂ／Ｅ＝Ｈ
  となっている。

そうすれば
　ＥはＨにかけてＢをつくった。

• 　前節、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ｅ×Ｈ＝Ｂ
  となっている。

ところが
　Ａも２乗してＢをつくった。

• 　命題の設定により
  　１：Ａ＝Ａ：Ｂ
  となっており、
  　定義７−２１（比例）
  による。
  
• 　Ａ^2＝Ｂ
  となっている。
  

ゆえに
　Ｅ、Ｈの積はＡの平方数に等しい。

• 　前節、前々節
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ｅ×Ｈ＝Ａ^2
  となっている。

したがって
　ＥがＡに対するように、
　ＡがＨに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  　Ｅ：Ａ＝Ａ：Ｈ
  となっている。

ところが
　Ａ、Ｅは［互いに］素であり、

• 　（１）による。

　［互いに］素である数は最小であり、

• 　命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
  による。
  
• 　Ａ：Ｈ＝Ｅ：Ａ（最小）
  となっている。　

　最小の数は
　同じ比をもつ数を割り切り、
　前項が前項を、
　後項が後項を割り切り、
　その商は等しい。

• 　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  による。
  

それゆえ
　前項が前項を、
　すなわち
　ＥがＡを割り切る｡

• 　前節により
  　Ｅ｜Ａ
  となっている

ところがまた
　割り切らなくもある。

• 　（１）による。

　これは不可能である。

ゆえに
　Ｅ、Ａは互いに素でない。

• 　背理法による。

したがって
　公約数をもつ。

• 　前節、
  　定義７ー１３（互いに素）
  による。
  

ところが
　公約数をもつ２数は
　何らかの数によって割り切られる。

• 　前節と同じことをいっている。
• 　もちろん、
  　単位は数と考えていない。
  　数Ｍがあって、
  　Ｍ｜Ａ、Ｍ｜Ｅ
  となっている。
  

そして
　Ｅは素数である
と仮定され、

• 　（ａ）による。

　素数は
　自分自身以外の他の数に
　割り切られない

• 　定義７ー１２（素数）
  による。
  

から、
　ＥはＡ、Ｅを割り切る。

• 　前節、前々節、前々々節による。
• 　Ｅ｜Ａ、Ｅ｜Ｅ
  となっている。

したがって
　ＥはＡを割り切る。

• 　前節による。
• 　Ｅ｜Ａ
  となっている。

ところが
　Ｄをも割り切る。

• 　（ａ）による。
• 　Ｅ｜Ｄ
  となっている。

よって
　ＥはＡ、Ｄを割り切る。

• 　前節、前々節による。
• 　Ｅ｜Ａ、Ｅ｜Ｄ
  となっている。

同様にして
　Ｄがいくつの素数に割り切られ
ようと、
　Ａも同じ素数に割り切られる
であろうことを証明しうる。

これが証明すべきことであった。

• 命題９ー１２は、
  　１,Ａl,Ａ2,…,Ａn；順次比例
  のとき、
  　Ｐ；素数、
  　Ｐ｜Ａn
  ならば、
  　Ｐ｜Ａ1
  のことである。
  
• 命題９ー１２は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-21
  公準
  公理		1-1
  命題		補4(義7-16),7-19,7-20,7-21,7-29,9-11補
  その他	コ4(題7-1)	背理法

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