ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー３１（合成数を割り切る素数の存在）
　すべての合成数は
　何らかの素数に割り切られる。

• 合成数は、 定義７ー１４による。
• 素数は、 定義７ー１２による。
• 割り切るは、 定義５ー１の補足２による。

　Ａを合成数
とせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、 コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
• 　定義７ー１４（合成数）
  により、
  　合成数は、
  　４、６、８、・・・
  と存在する。
  　２以外の偶数は
  　合成数である
  から、
  　合成数は無限に存在する。
• 　合成数Ａ
  をとっている。

　Ａは
　何らかの素数に割り切られる
と主張する。

　Ａは
　合成数である

• 命題の設定による。
• 　Ａ;合成数
  となっている。

から、
　何らかの数が
　それを割り切る
であろう。

• 定義７ー１４（合成数）
  による。
  

　割り切る
とし、
　それをＢ
とせよ。
[......(ａ)]

• 定義７ー１４（合成数）
  により、
  　Ｂは
  　単位でもなく
  　その数自身でもない
  　Ｂ;｜Ａ、≠１、≠Ａ
  となっている。
  　命題の補足（定義７ー３）（割り切る数は小さい）
  により、
  　Ｂ;≦Ａー１
  となっている。
• 　Ｂ[;;｜Ａ,≠１,≠Ａ)
  をとっている。
  　Ｂ;≦Ａー１
  となっている。

そして
【Ｂが、
　素数の場合、
　合成数の場合
に分ける。 】
もし
　Ｂが素数である
ならば、

• Ｂの場合分け（１）である。

　命じられたことは
　なされている
であろう。

ところが
もし
　合成数
ならば、

• Ｂの場合分け（２）である。

　何らかの数が
　それを割り切る
であろう。

• 定義７ー１４（合成数）
  による。
  

　割り切る
とし、
　それをＣ
とせよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

• 定義７ー１４（合成数）
  により、
  　Ｃは
  　単位でもなく
  　その数自身でもない
  　Ｃ;｜Ｂ,≠１,≠Ｂ
  となっているので、
  　Ｃ≦Ｂー１
  となっている。
• 　Ｃ[;;｜Ｂ,≠１,≠Ｂ]
  をとっている。
  　Ｃ≦Ｂー１
  となっている。

そうすれば
　ＣはＢを割り切り、
　ＢはＡを割り切る

• （ｂ）、 （ａ） による。
• 　Ｃ;｜Ｂ、
  　Ｂ;｜Ａ
  となっている。

から、
　ＣもＡを割り切る。

• 公理の補足２（命題７ー４）（約数・等分(倍数)での代入の原理）
  による。
• 　Ｃ;｜Ａ
  となっている。

そして
【Ｃが、
　素数の場合、
　合成数の場合
に分ける。 】
もし
　Ｃが素数である
ならば、

• Ｃの場合分け（１）である。

　命じられたことはなされている
であろう。

ところが
もし
　合成数である
ならば、
　何らかの数が
　それを割り切る
であろう。

• Ｃの場合分け（２）である。

そこで
　探求がこのようにして進む
と、
　自分の前の数を
　また
　Ａをも割り切る
　何らかの素数がとられるにいたる
であろう。

なぜなら
もし
　とられない
ならば、

• 背理法の仮定を述べようとしている。

　《１つが他の１つ》［後のものが前のもの］より小さい
　限りなく多くの数が
　数Ａを割り切ることになる
であろう。

• 「なぜならもし」は、
  コメント（命題１ー４） 参照のこと。
• 　Ｃ1;＝Ｂ、
  　Ｃ2;＝Ｃ、
  　…
  　数Ｃi+1(;;｜Ｃi,¬(素数))
  をとっており、
  　Ｃi+1;≦Ｃiー１
  となり、また、
  　公理の補足２（命題７ー４）（約数・等分(倍数)での代入の原理）
  により、
  　Ｃi+1;｜Ａ
  となっている。

　これは
　数においては
　不可能である。

• 　命題７ー１の補足６ (数を減じるのは有限回)
  による。
  原理的には
  　公準１ー２の補足（アルキメデスの原理）
  に矛盾する。

したがって
　自分の前の数を割り切り、
また
　Ａをも割り切る何らかの素数がとられる
であろう。

• 背理法による。
• 　素数でない数で
  　割り切り続けることは有限回ｎで終わり、
  　Ｃn+1;｜Ａ、素数
  となっている。
  

【Ｃの場合分けに関する
　２つの場合の結果、
　Ｂの場合分けに関する
　２つの場合の結果により、】
よって
　すべての合成数は
　何らかの素数に割り切られる。

　これが証明すべきことであった。

• 命題７ー３１は、
  　合成数Ａ
  において、
  　(素数Ｂ[;;｜Ａ]);存在
  のことである。
• 命題７ー３１は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-2,7-14
  公準	1-2補
  公理		補2(題7-4)
  命題		補(義7-3),7-1補6
  その他	コ4(題7-1)	背理法,場合分け, コ(題1-4)

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