ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論
第８巻
命題８ー９（互に素な数間の順次比例挿入項）
もし
二つの数が互いに素であり、
それらの間に
順次に比例する数が入る
ならば、
いくつの数が順次に比例して
それらの間に入ろう
と、
同じ個数の数が順次に比例して
もとの２数の双方と
単位との間にも入る
であろう。
Ａ、Ｂを
互いに素である２数
とし、
それらの間に順次に比例する
［入る限り入れる
として、］
Ｃ、Ｄが入る
とし、
-
準一般的な証明である。
コメント２（命題５ー１）参照のこと。
-
命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）
による。
-
例えば、
１６と８１の間に
順次に比例するように項をいれる
とすれば、
１６、３６、８１と
１６、２４、３６、５４、８１との
２つの入れ方がある。
本命題の趣旨からすると、
後者に限る
と見るのが
妥当である。
そして
単位Ｅが定められた
とせよ。
いくつの数が順次に比例して
Ａ、Ｂの間に入ろう
と、
同じ個数の数が
順次に比例して
Ａ、Ｂの双方と
単位との間にも入るであろう
と主張する。
Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂの比をなす
最小である二つの数
Ｆ、Ｇが、
-
命題８ー２（構成.順次に比例する最小の数）
による。
-
Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｄ＝Ｄ：Ｂ
＝Ｆ：Ｇ
となっていて、
Ｆ、Ｇは、最小となっている。
三つの数Ｈ、Ｋ、Ｌがとられ、
-
命題８ー２（構成.順次に比例する最小の数）
による。
-
Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｄ＝Ｄ：Ｂ
＝Ｈ：Ｋ＝Ｋ：Ｌ
となっていて、
Ｈ、Ｋ、Ｌは最小となっている。
そして
次々に一つずつ多くして、
Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂと
同じ個数になるまで
せよ。
かかる数がとられた
とし、
それらをＭ、Ｎ、Ｏ、Ｐ
とせよ。
-
構成方法は前節と同じである。
Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｄ＝Ｄ：Ｂ
＝Ｍ：Ｎ＝Ｎ：Ｏ＝Ｏ：Ｐ
となっていて、
Ｍ、Ｎ、Ｏ、Ｐは最小となっている。
そうすれば
Ｆが２乗してＨをつくり、
ＨにかけてＭをつくり、
Ｇが２乗してＬをつくり、
ＬにかけてＯをつくった
ことは明らかである。
[......(ａ)]
-
命題８ー２（構成.順次に比例する最小の数）
による。
そして
Ｍ、Ｎ、Ｏ、Ｐは
Ｆ、Ｇと
同じ比をもつ数のうちで
最小であり、
Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂも
Ｆ、Ｇと
同じ比をもつ数のうちで
最小であり、
Ｍ、Ｎ、Ｏ、Ｐは
Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂと
同じ個数である
-
命題８ー２（構成.順次に比例する最小の数）
による。
から、
Ｍ、Ｎ、Ｏ、Ｐのおのおのは
Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂのおのおのに等しい。
-
前者の各数と後者の各数は、
互いに他と等しいか大きい
ので、
公理１ー７の補足（線分・角は大か等か小）
により
それぞれ等しい。
それゆえ
ＭはＡに、
ＯはＢに等しい。
[......(１）)]
そして
Ｆは２乗してＨをつくった
から、
ＦがＨを割った商は
Ｆのなかにある単位の個数である。
ところが
単位ＥがＦを割った商も
Ｆのなかにある単位の個数である。
ゆえに
単位Ｅが数Ｆを、
ＦがＨを割った商は等しい。
したがって
単位Ｅが数Ｆに対するように、
ＦがＨに対する。
[......(２)]
また
ＦがＨにかけてＭをつくった
から、
ＨがＭを割った商は
Ｆのなかにある単位の個数である。
ところが
単位Ｅが
数Ｆを≪も≫[割］った商も
Ｆのなかにある単位の個数である。
それゆえ
単位Ｅが数Ｆを、
ＨがＭを割った商は等しい。
ゆえに
単位Ｅが数Ｆに対するように、
ＨがＭに対する。
ところが
単位Ｅが数Ｆに対するように、
ＦがＨに対する
ことが先に証明された。
したがって
単位Ｅが数Ｆに対するように、
ＦがＨに、
ＨがＭに対する。
しかも
ＭはＡに等しい。
それゆえ
単位Ｅが数Ｆに対するように、
ＦがＨに、
ＨがＡに対する。
同じ理由で
単位Ｅが数Ｇに対するように、
ＧがＬに、
ＬがＢに対する。
ゆえに
いくつの数が順次に比例して
Ａ、Ｂの間に入ろう
と、
同じ個数の数が順次に比例して
Ａ、Ｂの双方と
単位Ｅの間にも入る
であろう。
これが証明すべきことであった。
-
すなわち、
ＡがＢに素であり、
かつ
Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｄ＝Ｄ：Ｂ
ならば、
同じ個数の数が
１とＡ、
および
１とＢとの間に入る．
- 命題８ー９は推論用命題である。
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