ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー１４（数の等間隔比）
もし
　任意個の数と
　別のそれらと同じ個数の数とがあり、
　２つずつとられた
　とき
　同じ比をなす
ならば、
　等間隔をおいて
　同じ比をなす
　であろう。

• 数は、 命題の補足（定義７ー２）による。
• 個数は、 定義５ー１７の補足による。
• 同じ比は、 定義５ー５による。

　任意個の数Ａ、Ｂ、Ｃと
　別のそれらと同じ個数で、
　２つずつとられた
　とき
　同じ比をなす数Ｄ、Ｅ、Ｆとがあり、
　ＡがＢに対するように、
　ＤがＥに対し、
　ＢがＣに対するように、
　ＥがＦに対する
とせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
• 命題７ー１１の補足(構成.比例する数の作図)
  による。
  図は、Ａ＝８、Ｂ＝６、Ｃ＝４、Ｄ＝１２、Ｅ＝９、Ｆ＝６による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。

　等間隔比により
　ＡがＣに対するように、
　ＤがＦに対する
と主張する。

　ＡがＢに対するように、
　ＤがＥに対する
から、

• 命題の設定による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。

　いれかえて
　ＡがＤに対するように、
　ＢがＥに対する。
　　　　　　[......(１)]

• 命題７ー１３（比例４数はいれかえても比例）
  による。
• 　Ａ：Ｄ＝Ｂ：Ｅ
  となっている。

また、
　ＢがＣに対するように、
　ＥがＦに対する
から、

• 命題の設定による。
• 　Ｂ：Ｃ＝Ｅ：Ｆ
  となっている。

　いれかえて
　ＢがＥに対するように、
　ＣがＦに対する。

• 命題７ー１３（比例４数はいれかえても比例）
  による。
• 　Ｂ：Ｅ＝Ｃ：Ｆ
  となっている。

ところが
　ＢがＥに対するように、
　ＡがＤに対する。

• (１)、
  命題５ー７の系(比例すれば逆も比例)、
  による。
• 　Ｂ：Ｅ＝Ａ：Ｄ
  となっている。

それゆえ
　ＡがＤに対するように、
　ＣがＦに対する。

• 命題５ー１１（同一の比に同じ比） による。
• 　Ａ：Ｄ＝Ｃ：Ｆ
  となっている。

よって、
　いれかえて
　ＡがＣに対するように、
　ＤがＦに対する

• 命題７ー１３（比例４数はいれかえても比例）
  による。
• 　Ａ：Ｃ＝Ｄ：Ｆ
  となっている。

　これが証明すべきことであった。

• 　準一般的な証明である。
  　Ａ1、Ａ2、・・・、Ａnと
  　Ｂ1、Ｂ2、・・・、Ｂnに対し、
  　Ａ1：Ａ2＝Ｂ1：Ｂ2、・・・、
  　Ａn-1：Ａn＝Ｂn-1：Ｂn
  という一般化は以下のとおり。
  　Ａ1、Ａ2、Ａ3と
  　Ｂ1、Ｂ2、Ｂ3において、
  本命題により、
  　Ａ1：Ａ3＝Ｂ1：Ｂ3。
  次に、
  　Ａ1、Ａ3、Ａ4と
  　Ｂ1、Ｂ3、Ｂ4において、
  本命題により、
  　Ａ1：Ａ4＝Ｂ1：Ｂ4。
  これを繰り返して、
  　Ａ1：Ａn＝Ｂ1：Ｂn。
  逐次操作の準一般的な証明の一般化は、
  コメント５（命題７ー１）
  　参照のこと。
• 命題７ー１３は、
  　Ａ1：Ａ2＝Ｂ1：Ｂ2、・・・、Ａn-1：Ａn＝Ｂn-1：Ｂn
  ならば、
  　Ａ1：Ａn＝Ｂ1：Ｂn
  のことである。
  
• 命題７ー１３は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	7-11補	5-7系,5-11,7-13
  その他	コ4(題7-1)

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